Il polinomio di Taylor come metodo di approssimazione per funzioni derivabili con esempio di applicazione

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L’esercizio chiede di calcolare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine della funzione; in questo caso, non essendoci funzioni di sviluppo noto, dobbiamo procedere applicando la definizione, ovvero la formula del polinomio di Taylor:

[math] T_n (f , x) = f(x_0) + f’(x_0) (x - x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + … + \frac{f^n(x_0)}{n!} (x - x_0)^n [/math]

In questo caso, dovendoci fermare al terzo ordine, dobbiamo calcolare le derivate della funzione fino a quella di terzo ordine.

Per semplicità, chiamiamo con

[math]g(x)[/math]

[math]h(x)[/math]

le funzioni:

[math] g(x) = \sqrt[3]{1+4x} [/math]

[math] h(x) = \sqrt[4]{1- 3x} [/math]

e calcoliamo le loro derivate separatamente.

Cominciamo con

[math]g(x)[/math]

Il termine di ordine zero coincide con la funzione stessa; la funzione in zero vale 1:

[math] g(0) = 1[/math]

Passiamo alla derivata prima:

[math] g’(x) = \frac{1}{3} (1+4x)^{ - \frac{2}{3}} \cdot 4 = \frac{4}{3 \sqrt[3]{(1+4x)^2}} [/math]

Calcoliamo il valori assunti da tale derivata nel punto

[math]x=0[/math]

[math] g’(0) = \frac{4}{3} [/math]

Calcoliamo la derivata seconda:

[math] g’’(x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot (1 + 4x)^{-\frac{5}{3}} \cdot 4 = - \frac{32}{9 \sqrt[3]{(1+4x)^5} } [/math]

I valori assunti dalla derivata nel punto

[math]x=0[/math]

sono:

[math] g’’(0) = - \frac{32}{9} [/math]

Passiamo, infine alla derivata terza:

[math] g’’’(x) = \frac{32}{9} \cdot - \frac{5}{3} \cdot (1 + 4x)^{-\frac{8}{3}} \cdot 4 = - \frac{640}{27 \sqrt[3]{(1+4x)^8} } [/math]

Anche in questo caso, calcoliamo il valore assunto dalla derivata in zero:

[math] g’’’(0) = \frac{640}{27} [/math]

Possiamo ora scrivere lo sviluppo in serie di Taylor al terzo ordine della funzione

[math]g(x)[/math]

[math] g(x) = 1 + \frac{4}{3} x - \frac{32}{9} \frac{x^2}{2} + \frac{640}{27} \frac{x^3}{6} + o(x^3) [/math]

Moltiplicando e semplificando si ha:

[math] g(x) = 1 + \frac{4}{3} x - \frac{16}{9} x^2 + \frac{320}{81} x^3 + o(x^3) [/math]

Applichiamo lo stesso procedimento alla funzione

[math]h(x)[/math]

, calcolando le sue derivate fino a quella di ordine terzo, e per ciascuna di essa il valore assunto in

[math]x=0[/math]

Il termine di ordine zero è la funzione stessa; la funzione in zero vale 1:

[math] h(0) = 1[/math]

Passiamo alla derivata prima:

[math] h’(x) = \frac{1}{4} (1-3x)^{ - \frac{3}{4}} \cdot (-3) = - \frac{3}{4 \sqrt[4]{(1-3x)^3}} [/math]

Calcoliamo il valori assunti da tale derivata nel punto

[math]x=0[/math]

[math] h’(0) = -\frac{3}{4} [/math]

Calcoliamo la derivata seconda:

[math] h’’(x) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{3}{4}) (1-3x)^{ - \frac{7}{4}} \cdot (-3) = - \frac{27}{16 \sqrt[4]{(1-3x)^7}} [/math]

I valori assunti dalla derivata nel punto

[math]x=0[/math]

sono:

[math] h’’(0) = - \frac{27}{16} [/math]

Passiamo, infine alla derivata terza:

[math] h’’’(x) = -\frac{27}{16} \cdot - \frac{7}{4} \cdot (1 - 3x)^{-\frac{11}{4}} \cdot -3 = - \frac{567}{64 \sqrt[3]{(1-3x)^{11}}} [/math]

Anche in questo caso, calcoliamo il valore assunto dalla derivata in zero:

[math] g’’’(0) = -\frac{567}{64} [/math]

Possiamo quindi scrivere lo sviluppo in serie di Taylor al terzo ordine della funzione

[math]h(x)[/math]

[math] h(x) = 1 - \frac{3}{4} x - \frac{27}{16} \frac{x^2}{2} - \frac{567}{64} \frac{x^3}{6} + o(x^3) [/math]

Moltiplicando e semplificando si ha:

[math] h(x) = 1 - \frac{3}{4} x - \frac{27}{32} x^2 - \frac{189}{128} x^3 + o(x^3) [/math]

A questo punto, possiamo determinare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione

[math]f(x)[/math]

; sostituiamo alle funzioni

[math]g(x)[/math]

[math]h(x)[/math]

i loro sviluppi appena calcolati:

[math] f(x) = \sqrt[3]{1+4x} + \sqrt[4]{1- 3x} - 2 = [/math]

[math] 1 + \frac{4}{3} x - \frac{16}{9} x^2 + \frac{320}{81} x^3 + o(x^3) + 1 - \frac{3}{4} x - \frac{27}{32} x^2 - \frac{189}{128} x^3 + o(x^3) = [/math]

[math] \frac{7}{12} x - \frac{755}{288} x^2 + (\frac{320}{81} - \frac{189}{128}) x^3 + o(x^3) [/math]

Sia data la seguente seguente funzione: f(x)=root(3)(1+4x) + root(4)(1- 3x) - 2 calcolare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione al terzo ordine

L’esercizio chiede di calcolare lo sviluppo di Taylor al terzo ordine della funzione; in questo caso, non essendoci funzioni di sviluppo noto, dobbiamo procedere applicando la definizione, ovvero la formula del polinomio di Taylor.

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