Per la risoluzione dell'esercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzione esponenziale, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza centrato nel punto
[math]x_0=0[/math]
.Ricordiamo, quindi, che lo sviluppo fondamentale il seguente:
[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \cdots + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]
Per poter ottenere uno sviluppo al terzo ordine della funzione di partenza necessario sviluppare la funzione esponenziale al terzo ordine:
[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + o(z^3) [/math]
Possiamo quindi effettuare la seguente sostituzione:
[math] z = x + x^2[/math]
; questo possibile in quanto il comportamento di [math]x[/math]
e quello di [math] x + x^2[/math]
sono pressoché uguali quando x tende a zero, e quindi vale anche la seguente uguaglianza tra o-piccoli: [math] o(x + x^2) = o(z) [/math]
.Possiamo quindi procedere con la sostituzione:
[math] e^x = 1 + x + x^2 + \frac{(x + x^2)^2}{2} + \frac{(x + x^2)^3}{6} + o((x + x^2)^3) [/math]
Svolgiamo i calcoli:
[math] e^x = 1 + x + x^2 + \frac{x^2 + x^4 + 2x^3}{2} + \frac{x^3 + x^6 + 3x^4 + 3x^5}{6} + o(x^3) = [/math]
[math] 1 + x + x^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x^4 + x^3 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{6} x^6 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{2} x^5 + o(x^3) [/math]
Possiamo tralasciare i termini che presentano esponenti maggiori di tre, in quanto, per le proprietà dell'o-piccolo, essi vengono inglobati all'interno di
[math] o(x^3)[/math]
; quindi abbiamo:
[math] e^x = 1 + x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{7}{6} x^3 + o(x^3)[/math]
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