Si risolva la seguente disequazione
[math](sec(2x))/ (tg(2x)-tg(x))-1/4(1+cot^2(x))>=0[/math]
Iniziamo a definire il dominio.
Per l'esistenza della secante, tangente e cotangente, avremo rispettavamente
[math]2x!=\pi/2+k\pi->x!=\pi/4+k\pi/2[/math]
[math]x!=\pi/2+k\pi[/math]
[math]x!=k\pi[/math]
La prima assicura l'esistenza di
[math]sec2x[/math]
e [math]\\tan2x[/math]
, la seconda di [math]\\tanx[/math]
e la terza di [math]cot^2x[/math]
Passiamo ora alla disequazione e consideriamo la prima frazione.
Vediamo di semplificarlaAbbiamo
[math](sec2x)/(tg(2x)-tg(x))=(1/(\\cos(2x)))/((\\sin(2x))/(\\cos(2x))-(\\sinx)/(\\cosx))=(1/\\cos(2x))/((\\sin2x\\cosx-\\sinx\\cos2x)/(\\cos2x \cdot \\cosx)[/math]
Ora possiamo eliminare
[math]\\cos2x[/math]
, portare sopra [math]\\cosx[/math]
e apportare altre modifiche. Abbiamo ottenuto
[math](\\cosx)/(\\sin2x \cdot \\cosx-\\sinx \cdot \\cos2x)=(\\cosx)/(2\\sinx\\cos^2x-\\sinx(\\cos^2x-\\sin^2x))=(\\cosx)/(2\\sinx\\cos^2x-\\sinx \cdot \\cos^2x+\\sin^3x)[/math]
Abbiamo usato la bisezione e poi abbiamo moltiplicato.
Ora andando avanti
[math](\\cosx)/(\\sinx \cdot \\cos^2x+\\sin^3x)=(\\cosx)/(\\sinx(\\cos^2x+\\sin^2x))[/math]
Ma ricordando che
[math]\\sin^2x+\\cos^x=1[/math]
si ha
[math](\\cosx)/(\\sinx)=cotgx[/math]
per cui l'equazione originaria diventa
[math]cotgx-1/4(1+cotg^2x)>=0[/math]
ovvero
[math]1/4(1+cotg^2x)-cotgx
[math]cotg^2x-4cotgx+1
Il che comporta
[math]2-\sqrt3 e questa è soddisfatta se
[math]\pi/12+k\pi
Ma osservando le condizioni dobbiamo escludere
[math]x=\pi/4+k\pi/2[/math]
FINE
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