Proprietà associativa dell'addizione: regole

In questo appunto visioneremo una delle proprietà dell'addizione. Le proprietà dell'addizione sono tre: commutativa, associativa e dissociativa.

Proprietà associativa dell'addizione

L'addizione gode della proprietà associativa. Ossia: la somma di più addendi non cambia se al posto di un insieme qualsiasi di addendi sostituiamo la loro somma già calcolata.

Esempio:
Consideriamo la seguente addizione:
9 + 2 + 3 = 14.

Associamo due addendi, ad esempio il 9 e il 2 (si usa racchiuderli tra parentesi tonda) e sostituiamo la loro somma:

, oppure possiamo provare ad associare il 2 e il 3 ottenendo

e infine possiamo associare il 9 e il 3 (non è detto, infatti, che si possano associare solo addendi consecutivi, si può fare come si desidera!) ottenendo

.
In simboli:

La seguente scrittura vale per qualsiasi numero di addendi, non necessariamente questi ultimi devono essere solo 3. Ad esempio, nella somma:

possiamo associare

e

ottenendo in definitiva:

.

Esempi ulteriori

• [math]29 + 1 + 11 = (29 + 1) + 11 = 30 + 11 = 41[/math]
• [math]57 + 3 + 40 = (57 + 3) + 40 = 60 + 40 = 100[/math]

Esercizi sulla proprietà associativa

1)Osserva le seguenti uguaglianze e scrivi SI se è stata applicata la proprietà associativa, NO se non è stata applicata.

• [math]10+12+4+15=10+16+15[/math]
  ;
• [math]32+18+14+17=32+17+18+14[/math]
  ;
• [math]21+9+10+22+5=21+19+22+5[/math]
  ;
• [math]96+19+21+84=84+21+19+96[/math]
  ;
• [math]120+19+37+10=130+19+37[/math]
  ;

Soluzioni con spiegazione

• a. SI. La proprietà associativa è stata applicata in quanto gli addendi 12 e 4 sono stati sommati per dare 16, e il numero di addendi nella somma iniziale era 4, ora è diventato 3;
• b. NO. Non è stata applicata la proprietà associativa bensì la proprietà commutativa, infatti il numero di addendi è rimasto tale e quale, solo che il 18 è passato in terza posizione, il 14 in quarta e il 17 in seconda;
• c. SI. La proprietà è stata applicata perché il 9 e il 10 (rispettivamente secondo e terzo addendo) sono stati sommati per dare 19 e il numero di addendi è passato da 5 a 4;
• d. NO. È stata nuovamente applicata la proprietà commutativa, gli addendi sono sempre rimasti 4... e la somma riscritta è quella ottenuta invertendo tutti i numeri (il primo numero è diventato quarto, il secondo è diventato terzo... e così via);
• e. SI. Non era immediato notarlo poiché anziché due addendi consecutivi, sono stati associati il primo e l'ultimo addendo, ossia il 120 e il 10, per dare 130. Gli addendi sono effettivamente diventati 3, prima erano 4.

Per ulteriori approfondimenti sulla proprietà commutativa vedi anche qua

2) Calcola le seguenti somme; applica poi a ciascuna la proprietà associativa e verifica che il risultato non cambia:

• a.
  [math] 18 + 12 + 37 + 13[/math]
• b.
  [math] 42 + 28 + 99 + 1[/math]
• c.
  [math] 79 + 11 + 46 + 34[/math]
• d.
  [math] 165 + 25 + 137 + 23[/math]
• e.
  [math] 119 + 111 + 72 + 88[/math]

Soluzioni con spiegazione

Si premette che in realtà non esiste un modo universalmente corretto di svolgere questo tipo di esercizi, poiché la proprietà associativa può essere applicata in tanti modi diversi, magari qualcuno più furbo di un altro, però nulla di sbagliato.

• a.
  [math] 18 + 12 + 37 + 13 = 80 \rightarrow (18 + 12) + 37 + 13 = 30 + 37 + 13 = 80[/math]
• b.
  [math] 42 + 28 + 99 + 1 = 170 \rightarrow 42 + 28 + (99 + 1) = 42 + 28 + 100 = 170[/math]
• c.
  [math] 79 + 11 + 46 + 34 = 170 \rightarrow (79 + 11) + 46 + 34 = 90 + 46 + 34=170[/math]
• d.
  [math] 165 + 25 + 137 + 23 = 350 \rightarrow (165 + 25) + 137 + 23 = 190 + 137 + 23 = 350[/math]
• e.
  [math] 119 + 111 + 72 + 88 = 390 \rightarrow 119 + 111 + (72 + 88) = 119 + 111 + 160=390[/math]

Consigli

Per utilizzare la proprietà associativa, conviene, solitamente associare addendi che sommati tra di loro danno multipli di

, o, più in generale, terminano con zeri. Questo perché sono più facili da sommare mentalmente, sicuramente fare

è molto più facile di fare

!

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle operazioni vedi anche qua