Numeri naturali ed i multipli di 8

In questo appunto di matematica si introducono i numeri naturali, con tutte le loro caratteristiche e proprietà e si descrivono i multipli del numero naturale otto.

I numeri naturali

Supponiamo di avere un insieme di numeri qualunque, interi, dato da {5, 3, 8, 9, 7, 0, 17,…} e disponiamo tali numeri in ordine crescente.

Facendo in questo modo otteniamola cosiddetta successione naturale:
0, 1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, …
In tale successione ogni elemento n è immediatamente seguito da un altro che viene detto successivo di n:
il successivo di 1 è 2; il successivo di 2 è 3 e così via.
Per indicare la totalità dei numeri naturali si parla dell’insieme

Al fine di scrivere i numeri naturali si fa uso di dieci simboli detti cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Si ricordi che le cifre che non devono essere confuse con il numero naturale che descrivono:
30 è un numero naturale di due cifre; 576 è un numero naturale di tre cifre; 1 è un numero naturale di uno sola cifra.
Le relazioni che possono esservi fra i numeri naturali sono:

• uguaglianza;
• disuguaglianza.

Sia l’uguaglianza che la disuguaglianza sono sostituite da un primo membro ed un secondo membro, separati da un segno di uguale nel caso dell’uguaglianza e da un segno di maggiore o minore (uguale eventualmente) nel caso delle disuguaglianze.

è un esempio di uguaglianza, in cui

è il primo membro e

è il secondo membro.

è un esempio di disuguaglianza in cui 15 è il primo membro e 5 il secondo.

Multipli e sottomultipli di numeri naturali

Consideriamo un numero naturale n, diverso da zero e moltiplichiamolo successivamente per tutti gli elementi non nulli della successione naturale {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}.
Otteniamo così:
n, 2n, 3n, 4n, 5n, …
Chiameremo multiplo di n ciascuno di tale numero:
ad esempio se n =3
si ha che

ecc.
sono multipli del numero naturale 3.
A sua volta diremo che n è sottomultiplo di ciascuno di tale numero:
ad esempio il numero 3 è sottomultiplo di 6, di 9, di 12, di 15, di 18, ecc.
Possiamo dunque generalizzare dicendo che:
se a, b e c sono tre numeri naturali, per i quali vale la relazione:

a risulta essere multiplo di b e di c, mentre b e c sono sottomultipli di a.
Diremo, inoltre, che a è divisibile per b e per c e che b e c sono divisori di a.
Ogni numero naturale n ha infiniti multipli, mentre avrà sempre un numero finito di sottomultipli o divisori: ogni numero naturale ammette almeno due divisori che sono il numero uno, ossia l’unità, ed il numero stesso. Fa eccezione il numero 1 che ammette il solo divisore 1.
I numeri naturali diversi da 0 e da 1, che ammettono soltanto due divisori vengono chiamati numeri primi.
Si ricordi che scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo come prodotto di numeri primi elevati ad una opportuna potenza.
Ad esempio, si consideri il numero 2520. Tale numero può essere scritto come segue:

Proprietà delle operazioni con i numeri naturali

Tutte le operazioni possibili fra numeri naturali godono di alcune proprietà.
La relazione di uguaglianza gode delle tre seguenti proprietà:

• riflessiva;
• simmetrica;
• transitiva.

Ossia dati tre numeri naturali a, b e c, si ha che:

• la proprietà riflessiva ci assicura che a = a;
• la proprietà simmetrica ci dice che se a = b allora b = a;
• la proprietà transitiva afferma che se a = b e b = c allora a = c.

Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle seguenti proprietà:

• commutativa;
• associativa
• esiste il valore zero.

La proprietà commutativa ci dice che variando l’ordine degli addendi di una somma o l’ordine dei fattori in una moltiplicazione, il risultato non varia.
La proprietà associativa ci dice che se in una somma si sostituiscono più addendi con la loro somma, il risultato non cambia; allo stesso modo se il una moltiplicazione di più fattori si sostituisce il prodotto di alcuni di essi, il risultato non cambia.
Forniamo un esempio sia per la somma che per la moltiplicazione:

Si noti che tale proprietà può essere utilizzata anche in modo inverso, ed in questo caso viene chiamata proprietà dissociativa:
si può sostituire un addendo della somma con altri che abbiano per somma l’addendo considerati; si può sostituire un fattore con altri che abbiano per prodotto il fattore considerato.
L’esistenza del valore zero ci fornisce la legge di annullamento della somma e quella di annullamento del prodotto:

se e solo se

e

se

e/o

Si ricordi che a e b sono entrambi numeri naturali.
La sottrazione gode della proprietà invariantiva:

essendo

La divisione a quoziente esatto gode della proprietà invariantiva:

con

con

I multipli di 8

Consideriamo ancora l’insieme dei numeri naturali

e di tale insieme consideriamo l’elemento 8,

Il numero 8 è multiplo di 1 , di 2 e di 4:

Per cui avendo tre divisori (1, 2 e 4) non è un numero primo.
I suoi multipli, come per tutti i numeri naturali, sono infiniti.
Cerchiamo di capire se esiste una regola che ci permette di stabilire se un numero è multiplo di 8 (e quindi divisibile per 8).
Consideriamo i primi suoi dieci multipli:

Notiamo che

Dalla scomposizione in fattori primi dei precedenti prodotti si nota subito che è sempre presente il termine

, in quanto

e per trovare tutti i multipli di 8 si deve moltiplicare tale numero per un altro numero naturale.
Se ne conclude che tutti i multipli di 8 contengono il numero

, quindi al fine di vedere se un qualunque numero naturale è un multiplo di 8, basta scomporlo in fattore e appurare che contenga tale numero.
Facciamo un esempio, per chiarire meglio il metodo per procedere.
Consideriamo il numero naturale 779016, vogliamo stabile se è un multiplo di 8. A tal fine scomponiamolo in fattori primi. Si consiglia di iniziare sempre dal divisore più piccolo (ovviamente maggiore di 1) usando le [url=https://www.skuola.net/matematica/aritmetica/ancora-sui-criteri-di-divisibilita.html#:~:text=Per%20determinare%20se%20un%20numero,non%20%C3%A8%20divisibile%20per%202.]regole di divisibilità[/url] dei numeri:

Il numero 4637 è primo, ma già dal terzo passaggio si può stabilire che il numero 779016 è divisibile per 8, infatti:

per cui nella sua scomposizione si ha

( che è 8) e se ne può concludere che è multiplo di 8.

per ulteriori approfondimenti sui numeri naturali vedi anche qua