le successioni numeriche


Successioni numeriche

Una successione numerica è una funzione f definita sui naturali e a valori reali, ossia

[math]f:N \longrightarrow R[/math]
che, a partire da un numero naturale, lo elabora restituendo un numero reale.

Considerando

[math]N=\{0,1,2,3,...\}[/math]
potremmo quindi scrivere :


[math]
f:0\rightarrow f(0)\\
f:1\rightarrow f(1)\\
f:2\rightarrow f(2)\\
f:3\rightarrow f(3)\\
.\\
.\\
.\\
f:n\rightarrow f(n)\\
[/math]

Tipicamente, viene dato un nome alla successione e si associa il valore di

[math]f(n)=a_n,[/math]
per
[math]n=0,1,2,3...[/math]
. Si scrive quindi:

[math](a_n)_{n\ge 0} = (f(n))_{n\ge 0}[/math]

che definisce la legge che, ad ogni numero naturale, associa un numero reale.

Esempi di successione:

[math](0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\frac{1}{n})[/math]
è la successione che manda 0 in 0 e ad ogni altro numero naturale associa il reciproco.

[math](1,\frac{1}{2},5,-4,\sqrt{3},...)[/math]
anche è una successione numerica che non ha uno schema definito.


Se una successione può essere definita mediante la sua forma analitica (come nel nostro primo esempio, in cui possiamo scrivere

[math](a_n)_{n\ge 0} = (\frac{1}{n})_{n\ge 0}[/math]
), possiamo studiare la successione un po' come facciamo per le funzioni, facendo solo attenzione a ricordare che stiamo studiando una particolare funzione che è definita sui numeri naturali.


La monotonia della funzione

Una successione è monotona crescente se

[math]a_n\ge a_{n-1}[/math]
, viceversa, se vale
[math]a_n\le a_{n-1}[/math]
si dirà monotona decrescente (con la disuguaglianza stretta possiamo dire che la successione è strettamente crescente o decrescente). Per studiare se una funzione è monotona crescente o decrescente basterà impostare la disuguaglianza utilizzando le espressioni analitiche e risolverla.

Esempio
Supponiamo di avere il generico termine della successione

[math]a_n= \frac{n^2-1}{n+1}[/math]
e di voler vedere se la successione così definita è monotona.

Osserviamo che

[math]a_n= \frac{(n-1)(n+1)}{n+1}=n+1[/math]
.

Imposto

[math]a_n=n+1\ge a_{n-1}=(n-1)+1[/math]
, da cui ottengo la disuguaglianza:

[math]n\ge n-1 ,[/math]

che è chiaramente verificata essendo

[math]n \in N[/math]
.

Quindi la successione è monotona crescente.

Il segno della successione

Per studiare il segno di una successione possiamo imporre

[math]a_n\ge 0[/math]
e valutare per quali
[math]n\in N[/math]
questo è verificato, oppure applicare il principio di induzione.

Esempio
1) Consideriamo la successione

[math](a_n)_{n\ge 0}[/math]
di generico termine
[math]a_n=\log(\frac{n-1}{n})[/math]

e proviamo a studiare la monotonia. Impostiamo

[math]\log(\frac{n-1}{n})\ge 0[/math]

[math]\frac{n-1}{n} \ge e^0=1[/math]

[math]n-1 \ge n ,[/math]

che non è verificata per nessun

[math]n \in N[/math]
, quindi possiamo affermare che la funzione assume sempre valori reali negativi.

2) Sia (a_n)_{n\ge 0}=((-1)^nn)_{n\ge 0}. Ci chiediamo che segno abbia la successione. Osserviamo che è composta da un prodotto di due termini di cui uno sempre positivo (

[math]n\ge 0[/math]
per definizione), quindi per studiarne il segno basta chiedersi quando:

[math](-1)^n\ge 0 . [/math]

È evidente che non è possibile determinante il segno univocamente perché, per valori di n pari, la successione assume valori >0, mentre per n dispari avrà sempre valori <0.
Successioni di questo tipo vengono dette a segni alterni.

3) Prendiamo

[math](a_n)_{n\ge 0}= (n^2-2n-1)_{n\ge 0}[/math]
.
Osserviamo che per
[math]n=0 a_0=-1<0[/math]
, per
[math]n=1 a_1=-2<0[/math]
, ma per
[math]n=3 a_3=2>0[/math]
, quindi è lecito chiedersi se tale segno venga mantenuto per ogni
[math]n\ge 3[/math]
. Proviamo a mostrarlo con il principio di induzione. La base induttiva l'ho già verificata perché so che vale per n=3.
Suppongo allora che sia valido per n e provo ad attuare il passo induttivo dimostrandolo per n+1:

[math]a_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)-1=n^2+2n+1-2n-2-1=\\
\ \ \ \ \ \ \ =n^2-2n-1 + 2n-1=a_n+2n-1\ge 0,[/math]

in quanto so per l'ipotesi induttiva che

[math]a_n\ge 0[/math]
e che
[math]2n-1\ge 0[/math]
per
[math]n\ge 1[/math]
.

Limitatezza di una successione

Una successione è limitata se esiste una costante M tale che

[math]|a_n| \le M \ \forall n[/math]
, se
[math]a_n \le M \ \forall n[/math]
si dice inferiormente limitata, se vale che
[math]a_n \ge M \ \forall n[/math]
superiormente limitata.
Naturalmente, una successione monotona è sempre limitata da una costante, dal basso se è monotona crescente, o dall'alto, se è decrescente.
Anche le successioni con un segno definito sono limitate superiormente o inferiormente a seconda che siano negative o positive.

Un metodo per verificare la limitatezza della funzione potrebbe essere quindi quello di mostrare che vale una tra le proprietà precedenti e concludere così che la successione è limitata. Tuttavia è possibile che ci sia una stima migliore o che non valga nessuna di queste. In questo caso come si agisce? È semplice! Si prova a vedere che valori assume la successione, e, una volta capito l'andamento della stessa, si prova a verificare l'uguaglianza. Facciamo un esempio:

[math]a_n=n^3-6,[/math]

[math]a_0=0, \\
a_1=-5;\\
a_2=2;\\
a_3=21;\\
a_4=58...\\[/math]

Sembra quindi che la successione da un certo punto in poi (in particolare

[math]n\ge 1[/math]
) cresca; potremmo quindi mostrare che è monotona, oppure provare a verificare la nostra intuizione impostando:
[math]n_a\ge-5\\
n^3-6\ge-5\\
n^3\ge1,\\
[/math]

che è verificata per

[math]n\ge 1[/math]
.

Convergenza di una successione

Una successione si dice convergente quando esiste finito il

[math]\lim _{n\rightarrow \infty }{ a_n } [/math]
, qualora esista infinito la successione si dirà divergente e, in caso di non esistenza, indeterminata.


NOTA: il limite deve essere fatto necessariamente e solo per

[math]n\rightarrow \infty[/math]
, in quanto
[math]+\infty[/math]
unico punto di accumulazione dei numeri naturali.


Esistono numerosi teoremi relativi al calcolo del limite di una successione, che ci aiutano a stabilire se una successione numerica sia o meno convergente. Tuttavia, per evitare di rendere l'appunto troppo lungo e non facilmente leggibile non verranno discussi.

Riportiamo solo un esempio per maggiore chiarezza, ma lo studio del limite della successione, così come quello per le funzioni, non è banale e per una buona comprensione è necessario svolgere molti esercizi.

Esempio
Consideriamo

[math]a_n=\frac{nsin(n)}{n^2+1}[/math]
. Osservo che

[math] -\frac{n}{n^2+1}\le \frac{nsin(n)}{n^2+1}\ge \frac{n}{n^2+1},
[/math]

per le proprietà del seno. Ma per

[math]n\rightarrow \infty[/math]
, entrambe le due successioni, la maggiorante e la minorante, tendono a
[math]0[/math]
, di conseguenza, per il teorema dei carabinieri, anche la successione
[math] a_n \rightarrow 0 [/math]

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