Successione

Successioni numeriche

Una successione numerica è una funzione f definita sui naturali e a valori reali, ossia

che, a partire da un numero naturale, lo elabora restituendo un numero reale. Considerando

potremmo quindi scrivere:

Tipicamente, viene dato un nome alla successione e si associa il valore di

per

.

Si scrive quindi:

che definisce la legge che, ad ogni numero naturale, associa un numero reale. Esempi di successione:

è la successione che manda 0 in 0 e ad ogni altro numero naturale associa il reciproco.

anche è una successione numerica che non ha uno schema definito. Se una successione può essere definita mediante la sua forma analitica (come nel nostro primo esempio, in cui possiamo scrivere

), possiamo studiare la successione un po' come facciamo per le funzioni, facendo solo attenzione a ricordare che stiamo studiando una particolare funzione che è definita sui numeri naturali. La monotonia della funzione Una successione è monotona crescente se

, viceversa, se vale

si dirà monotona decrescente (con la disuguaglianza stretta possiamo dire che la successione è strettamente crescente o decrescente). Per studiare se una funzione è monotona crescente o decrescente basterà impostare la disuguaglianza utilizzando le espressioni analitiche e risolverla. Esempio Supponiamo di avere il generico termine della successione

e di voler vedere se la successione così definita è monotona. Osserviamo che

. Imposto

, da cui ottengo la disuguaglianza:

che è chiaramente verificata essendo

. Quindi la successione è monotona crescente. Il segno della successione Per studiare il segno di una successione possiamo imporre

e valutare per quali

questo è verificato, oppure applicare il principio di induzione. Esempio 1) Consideriamo la successione

di generico termine

e proviamo a studiare la monotonia. Impostiamo

che non è verificata per nessun

, quindi possiamo affermare che la funzione assume sempre valori reali negativi. 2) Sia

. Ci chiediamo che segno abbia la successione. Osserviamo che è composta da un prodotto di due termini di cui uno sempre positivo (

per definizione), quindi per studiarne il segno basta chiedersi quando:

È evidente che non è possibile determinarne il segno univocamente perché, per valori di n pari, la successione assume valori >0, mentre per n dispari avrà sempre valori <0. Successioni di questo tipo vengono dette a segni alterni. 3) Prendiamo

. Osserviamo che per

, per

, ma per

, quindi è lecito chiedersi se tale segno venga mantenuto per ogni

. Proviamo a mostrarlo con il principio di induzione. La base induttiva l'ho già verificata perché so che vale per

. Suppongo allora che sia valido per n e provo ad attuare il passo induttivo dimostrandolo per n+1:

in quanto so per l'ipotesi induttiva che

e che

per

. Limitatezza di una successione Una successione è limitata se esiste una costante M tale che

, se

si dice inferiormente limitata, se vale che

. Naturalmente, una successione monotona è sempre limitata da una costante, dal basso se è monotona crescente, o dall'alto, se è decrescente. Anche le successioni con un segno definito sono limitate superiormente o inferiormente a seconda che siano negative o positive. Un metodo per verificare la limitatezza della funzione potrebbe essere quindi quello di mostrare che vale una tra le proprietà precedenti e concludere così che la successione è limitata. Tuttavia è possibile che ci sia una stima migliore o che non valga nessuna di queste. In questo caso come si agisce? È semplice! Si prova a vedere che valori assume la successione, e, una volta capito l'andamento della stessa, si prova a verificare l'uguaglianza. Facciamo un esempio:

Sembra quindi che la successione da un certo punto in poi (in particolare

) cresca; potremmo quindi mostrare che è monotona, oppure provare a verificare la nostra intuizione impostando:

che è verificata per

. Convergenza di una successione Una successione si dice convergente quando esiste finito il

, qualora esista infinito la successione si dirà divergente e, in caso di non esistenza, indeterminata. NOTA: il limite deve essere fatto necessariamente e solo per

, in quanto

è l'unico punto di accumulazione dei numeri naturali. Esistono numerosi teoremi relativi al calcolo del limite di una successione, che ci aiutano a stabilire se una successione numerica sia o meno convergente. Tuttavia, per evitare di rendere l'appunto troppo lungo e non facilmente leggibile non verranno discussi. Riportiamo solo un esempio per maggiore chiarezza, ma lo studio del limite della successione, così come quello per le funzioni, non è banale e per una buona comprensione è necessario svolgere molti esercizi. Esempio Consideriamo

. Osservo che

per le proprietà del seno. Ma per

, entrambe le due successioni, la maggiorante e la minorante, tendono a

, di conseguenza, per il teorema dei carabinieri, anche la successione

.