Esercizi sui limiti: lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))

di _Steven

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Si calcoli, in funzione dei parametri positivi

[math]a,b,c,d[/math]

il seguente limite

[math]lim_(x o+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))[/math]

Proponiamo due strade

1°modo

Usiamo De L'Hopital:

Partendo da

[math]lim_(x o+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))[/math]

otteniamo

[math]lim_(x o+oo)((-lna \cdot root (x) (a))/(x^2)+ (lnb \cdot root (x) (b))/(x^2))/((-lnc \cdot root (x) (c))/(x^2)+(lnd \cdot root (x) (d))/(x^2))[/math]

(1)

Proviamo infatti a derivare

[math]root (x) (a)[/math]

Questa si può anche scrivere come

[math]a^{1/x}[/math]

e anche come:

[math]e^{ln(a)/x}[/math]

Derivando questa funzione con la regola:

[math] dot {f(x)} \cdot e^{f(x)}[/math]

otteniamo:

[math]-ln(a)/(x^2) \cdot a^{1/x}[/math]

che è esattamente la derivata riportata nell'uso della regola di De L'Hopital sopra.

Lavoriamo sulla forma trovatara (1): raccogliendo e semplificando

[math]1/(x^2)[/math]

si arriva a:

[math]lim_(x o+oo)((-lna \cdot root (x) (a))+ (lnb \cdot root (x) (b)))/((-lnc \cdot root (x) (c))+(lnd \cdot root (x) (d)))[/math]

Ma a questo punto è fondamentale osservare che per

[math]x o+oo[/math]

allora

[math]root (x) (n) o1[/math]

Pertanto all'argomento dei logaritmi rimangono solo

[math]a,b,c,d[/math]

In definitiva si ottiene:

[math]lim_(x o+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d)) [/math]

[math](lna - lnb)/(lnc-lnd)[/math]

2°modo

Innanzitutto ricordiamo questa importante approssimazione: se

[math]x->0[/math]

allora si ha

[math]e^x-1\approx x[/math]

Ora eseguiamo qualche passaggio algebrico sulla funzione

Raccogliendo ad esempio

[math]a^{1/x}[/math]

al numeratore e

[math]c^{1/x}[/math]

al denominatore, si ha

[math]\frac(a^{1/x}-b^{1/x})(c^{1/x}-d^{1/x})=\frac(a^{1/x}(1-(b/a)^{1/x}))(c^{1/x}(1-(d/c)^{1/x}))[/math]

Cambiando i segni del numeratore e del denominatore

[math]=(a/c)^{1/x}\frac((b/a)^{1/x}-1)((d/c)^{1/x}-1)[/math]

E ricordando che vale l'identità

[math]m^n=e^{n \cdot lnm}[/math]

si ottiene

[math](a/c)^{1/x}\frac(e^{\frac(ln(b/a))(x)}-1)(e^{\frac(ln(d/c))(x)}-1)[/math]

sfruttando l'approssimazione detta sopra si ha che

[math]e^{\frac(ln (b/a))(x)}-1[/math]

vale circa

[math]\frac(ln (b/a))(x)[/math]

ed inoltre

[math]e^{\frac(ln (d/c))(x)}-1[/math]

si approssima con

[math]\frac(ln (d/c))(x)[/math]

mentre per

[math]x->+\infty[/math]

si ha che

[math](\frac(a)(c))^{1/x}->1[/math]

In definitiva il imite completo tende quindi a

[math]\frac(\frac(ln (b/a))(x))(\frac(ln (d/c))(x))=\frac(ln (b/a))(ln (d/c))[/math]

che è la stessa forma di prima, basta ricordare la proprietà importante dei logaritmi

[math]\\logk-\\logh=\\log(k/h)[/math]

FINE

Esercizi sui limiti: lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))

Si calcoli, in funzione dei parametri positivi a,b,c,d il seguente limite lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d)) Proponiamo due strade 1°modo Usiamo De L'Hopital: Partendo da lim_(xto+oo)(root (x) (a

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