Determinare il valore dei parametri
[math]a,b[/math]
affinchè sia vero il limite
[math]\lim\limits_{x \to +\infty}[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3[/math]
Possiamo dire che quando questo limite tende a
[math]+\infty[/math]
, la funzione si comporta come questa [math](ae^x+bx^2)/(2x^2)[/math]
(l' "uno" è trascurabile, a fronte di infiniti)
Ma d'altra parte l'esponenziale ha un infinito più "forte" rispetto a una qualsiasi curva di secondo grado, quindi esso farebbe divergere a più infinito tutto il limite, ma questo non è possibile perchè il nostro limite è
[math]1/3[/math]
, valore finito.
Quindi deduciamo che deve essere necessariamente
[math]a=0[/math]
affinchè l'esponenziale sparisca.
A questo punto è facile: abbiamo
[math]\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b x^2 + 1}{2 x^2} = \frac{1}{3}[/math]
ma poichè
[math]1[/math]
lo trascuriamo, avremo [math]\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{b x^2}{2 x^2} = \frac{1}{3}[/math]
pertanto dovrà per forza essere che
[math]b/2=1/3[/math]
da cui ricaviamo che
[math]b=2/3[/math]
quindi riscrivendo la funzione viene
[math]f(x)=[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)][/math]
e facendo per scrupolo una verifica per sostituzione, una volta sostituiti i valori dei parametri trovati, eseguiamo
[math]\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3[/math]
che è vero.
FINE
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