Calcolare il limite che segue
[math]lim_(xrarr0)(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)^{1/x}[/math]
E' fondamentale in questo caso usare quest'identità
[math](3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)^{1/x}=e^{1/x \cdot ln(3 \cdot 2^x-2 \cdot 3^x)}[/math]
la quale discende direttamente dalla definizione di logaritmo.
A questo punto dobbiamo calcolare il limite dell'esponente,
[math]1/x \cdot ln(3 \cdot 2^x-2 \cdot 3^x)[/math]
ad esempio applicando de L'Hopital.
Procediamo
[math]lim_(x->0)(ln(3 \cdot 2^x-2 \cdot 3^x))/x[/math]
Derivando numeratore e denominatore, abbiamo
[math]lim_(x->0)((3ln2 \cdot 2^x-2ln3 \cdot 3^x)/(3 \cdot 2^x-2 \cdot 3^x))/1[/math]
Il denominatore va direttamente a [math]1[/math]
, mentre il numeratore tende a
[math]3ln2-2ln3[/math]
ovvero
[math]ln2^3-ln3^2=ln(8/9)[/math]
per cui
[math]lim_(x->0)(3 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x)^{1/x}=lim_(x->0)e^{1/x \cdot ln(3 \cdot 2^x-2 \cdot 3^x)}=e^{ln(8/9)}=8/9[/math]
FINE
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