Si calcoli il seguente limite
[math]lim_(x->+infty)\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt(3+x^2)[/math]
Per questo genere di limiti, è d'abitudine procedere con la razionalizzazione.
Si ha
[math]lim_(x->+infty)\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt(3+x^2)[/math]
Moltiplicando e dividendo per
[math]\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt(3+x^2)[/math]
otteniamo:
[math]lim_(x->+infty)(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt(3+x^2)) \cdot frac{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt(3+x^2)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt(3+x^2)}[/math]
[math]lim_(x->+infty)(x^2+x+1-(3+x^2))/(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt(3+x^2))[/math]
Togliendo le parentesi al numeratore e sommando si ottiene
[math]lim_(x->+infty)(x-2)/(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt(3+x^2))[/math]
Ora evidenziamo dentro le radici un termine
[math]x^2[/math]
e poi portiamo fuori, ottenendo
[math]lim_(x->+infty)(x-2)/(|x|(\sqrt{1/x^2+1/x+1}+\sqrt(1+3/x^2))[/math]
(abbiamo messo
[math]\sqrt{x^2}=|x|[/math]
in evidenza in ambo le radici e poi lo abbiamo raccolto)
Ora
[math]|x|=x[/math]
per [math]x->+infty[/math]
per cui
[math]lim_(x->+infty)(x-2)/(x(\sqrt{1/x^2+1/x+1}+\sqrt(1+3/x^2)))=lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=1/2[/math]
Infatti dentro la parentesi al denominatore i termini con la
[math]x[/math]
scompaiono perchè essa tende a infinito, rimane dunque solo
[math]\sqrt1+\sqrt1[/math]
ovvero [math]2[/math]
Se invece il limite fosse stato per
[math]x->-infty[/math]
, allora [math]|x|=-x[/math]
per cui con gli stessi calcoli avremmo trovato che
[math]lim_(x->-infty)\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt(3+x^2)[/math]
=[math]lim_(x->-infty)(x-2)/((-x)(\sqrt{1/x^2+1/x+1}+\sqrt(1+3/x^2)))[/math]
=
[math]lim_(x->-infty)(x-2)/(-2x)=-1/2[/math]
FINE
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