Calcolare il seguente limite
[math]lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^{1/x}][/math]
Per semplificare la forma operiamo una sostituzione
[math]t=1/(2x)[/math]
E' quindi evidente che se
[math]x->oo[/math]
si ha che
[math]t->0[/math]
A questo punto il limite diventa
[math]lim_(t->0)ln(1+t)/[1-e^{2t}][/math]
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per
[math]2t[/math]
con lo scopo di far apparire dei limiti notevoli
[math]lim_(t->0)ln(1+t)/t \cdot {2t}/[1-e^{2t}] \cdot 1/2[/math]
Ora si osserva che
[math]lim_(t->0)ln(1+t)/t=1[/math]
e che
[math]lim_(t->0)[2t]/(e^{2t}-1)=1[/math]
Nel nostro caso in realtà abbiamo
[math]{2t}/[1-e^{2t}][/math]
ma non è un problema, basta mettere un meno in evidenza, ottenendo
[math]-{2t}/[e^{2t}-1][/math]
Quindi, usando tali risultati nel nostro caso, possiamo facilmente concludere in questo modo
[math]lim_(t->0)ln(1+t)/t \cdot {2t}/[1-e^{2t}] \cdot 1/2=1 \cdot (-1) \cdot 1/2=-1/2[/math]
FINE
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