Si calcoli il limite che segue
[math]lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[\\sinx \cdot ln(1+5x)][/math]
Può essere riconosciuta con relativa semplicità la presenza di alcuni limiti notevoli. Proviamo infatti a riscrivere il limite in questa forma
[math]lim_(x->0) (e^x-1)/x \cdot x/\\sinx \cdot x/ln(1+5x)[/math]
Questo limite è analogo al precedente, si è giusto moltiplicato e diviso per un termine [math]x[/math]
Ora passiamo a ricordare un paio di limiti noti
[math]lim_(x->0) (e^x-1)/x=1[/math]
[math]lim_(x->0) x/\\sinx=1[/math]
Inoltre possiamo anche lavorare sulla terza frazione
[math]lim_(x->0) x/ln(1+5x)[/math]
Moltiplicando i numeratore per [math]5[/math]
e contemporaneamente per [math]1/5[/math]
fuori dal limite, otteniamo[math]1/5 \cdot lim_(x->0) (5x)/ln(1+5x)=1/5 \cdot 1=1/5[/math]
per il famoso limite notevole[math]lim_(y->0) y/ln(1+y)=1[/math]
Nel limite proposto il nostro [math]y[/math]
sarebbe [math]5x[/math]
, che ugualmente va a zero perché [math]x[/math]
va a zero. Riassumendo possiamo affermare che[math]lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[\\sinx \cdot ln(1+5x)]=1 \cdot 1 \cdot 1/5=1/5[/math]
FINE
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