Si calcoli il limite seguente
[math]lim_(x->+oo) ((e^{2x}+3)/(2+e^{2x}))^{x+e^x}[/math]
La forma è indeterminata, del tipo
[math]1^infty[/math]
Procediamo come segue
[math]((e^{2x}+3)/(2+e^{2x}))^{x+e^x}=((2+e^{2x}+1)/(2+e^{2x}))^{x+e^x}=(1+1/(2+e^{2x}))^{x+e^x}[/math]
La forma si sta avvicinando a quella del famoso limite notevole
Ora facciamo in modo che l'esponente e il numeratore siano uguali, in modo da poter applicare tale limite.
Moltiplicando e dividendo l'esponente per
[math]2+e^{2x}[/math]
si ottiene
[math][(1+1/{2+e^{2x}})^{2+e^{2x}}]^{(x+e^x)/{2+e^{2x}}}[/math]
e ricordando che:
[math]\egin{cases} lim_(x o +oo)(1+1/{2+e^{2x}})^{2+e^{2x}}=lim_(y o+oo)(1+1/y)^y=e \\ lim_(x o +oo)(x+e^x)/{2+e^{2x}}=lim_(x o +oo)(e^x \cdot (x \cdot e^{-x}+1))/(e^{2x} \cdot (2e^{-2x}+1))=0 \ \end{cases}[/math]
troviamo facilmente:
[math]lim_(x->+oo) ((e^{2x}+3)/(2+e^{2x}))^{x+e^x}=e^0=1[/math]
. Il risultato poteva essere previsto, infatti notiamo che
[math]2+e^{2x}[/math]
è un infinito di ordine superiore rispetto a [math]x+e^x[/math]
, pertanto l'esponente non riesce a far convergere il limite a [math]e[/math]
, ma predomina l' [math]1[/math]
della base. FINE
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