Si calcoli il limite seguente
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-\\cosx)/x^2[/math]
Proponiamo due strade da seguire per arrivare al risultato
1°MODO
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-\\cosx)/x^2[/math]
Il fine è questo: ricondursi ai limiti notevoli.
Ad esempio, sommando e sottraendo
[math]1[/math]
al numeratore, non alteriamo la funzione, e otteniamo
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-1+1-\\cosx)/x^2[/math]
A questo punto possiamo "spezzare" la frazione in due
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-1)/x^2+(1-\\cosx)/x^2[/math]
Ora eseguiamo quest'altro artificio: moltiplichiamo e dividiamo per
[math]sen^2x[/math]
il denominatore della prima frazione
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-1)/((sen^2 x ) \cdot x^2/{sen^2x}) +(1-\\cosx)/x^2[/math]
adesso si calcolano i limiti separatamente, usando i limiti notevoli, e si ottiene
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-1)/(sen^2 x )=1[/math]
[math]lim_(x->0)x^2/(sen^2x)=1[/math]
[math]lim_(x->0)(1-\\cosx)/x^2=1/2[/math]
da cui
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-1)/((sen^2 x ) \cdot x^2/{sen^2x}) +(1-\\cosx)/x^2=1/1+1/2=3/2[/math]
2°Modo
Usando la regola di de l'Hopital, avremo
[math]lim_(x->0)(e^{sen^2x}-\\cosx)/x^2=lim_(x->0)(2e^{sen^2x}senx\\cosx+senx)/(2x)=lim_(x->0)(senx)/x(2e^{sen^2x}\\cosx+1)1/2=3/2[/math]
FINE
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