Calcolare il limite
[math]lim_(x->-infty)\sqrt{x^2+2x+3})+x[/math]
La forma è indeterminata, del tipo
[math]+oo-oo[/math]
E' noto che in casi come questi la via più frequente è quella di moltiplicare per la somma o la differenza dei due addendi. Moltiplicando dunque numeratore e denominatore per [math]\sqrt{x^2+2x+3}-x[/math]
si ha [math]lim_(x->-infty)((\sqrt{x^2+2x+3})+x)[/math]
=[math]lim_(x->-infty)(2x+3)/(\sqrt{x^2+2x+3}-x)[/math]
Raccogliamo al radicando un fattore [math]x^2[/math]
e portiamolo fuori dalla radice [math]lim_(x->-infty)(2x+3)/(|x|\sqrt{1+2/x+3/x^2}-x)[/math]
Inoltre ricordiamo che per [math]x[/math]
che tende a valori negativi, si ha [math]|x|=-x[/math]
, perciò [math]lim_(x->-infty)(2x+3)/(-x\sqrt{1+2/x+3/x^2}-x)=lim_(x->-infty)(2x+3)/(-x(\sqrt{1+2/x+3/x^2}+1))=-1[/math]
La parentesi al denominatore tendeva infatti a
[math]2[/math]
, giacchè la radice tendeva a [math]\sqrt1[/math]
ovvero [math]1[/math]
. Perciò il valore del denominatore è [math]-2x[/math]
. Al numeratore si aveva [math]2x+3[/math]
, ma possiamo trascurare il [math]3[/math]
per valori grandi di [math]2x[/math]
. Da qui il risultato. FINE
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