Calcolare
[math]\lim_{x \to +\infty}\sqrt{2 + x^3} - \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}[/math]
Il limite si presenta sotto la forma
[math]\infty - \infty[/math]
; moltiplicando a numeratore e denominatore per [math]\sqrt{2 + x^3} + \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + x^3 - 1 - 2x^2 - x^3}{\sqrt{2 + x^3} + \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 2x^2}{x^{\frac{3}{2}} {\sqrt{\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x} + 1}})[/math]
Dividendo per
[math]x^{\frac{3}{2}}[/math]
sia al numeratore che al denominatore si ottiene
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - 2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x} + 1}} = \frac{0 - \infty}{1 + 1} = -\infty[/math]
FINE
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