Si calcoli
[math]lim_(x->0) (\\sinx+\\cosx)^{1/x}[/math]
La forma è indeterminata, in particolare vediamo che siamo nel caso di un
[math]1^{infty}[/math]
Eseguiamo qualche semplice trasformazione: raccogliamo
[math]\\cosx[/math]
[math](\\sinx+\\cosx)^{1/x}=[\\cosx((\\sinx)/(\\cosx)+1)]^{1/x}=(\\cosx)^{1/x} \cdot (\\tanx+1)^{1/x}[/math]
Risolviamo ora separatamente i due fattori.
[math]lim_(x->0) (\\cos x)^{1/x}=1[/math]
in effetti questa sarebbe ancora una forma indeterminata, ma la "velocità " con cui [math]\\cosx[/math]
tende a 1 è più forte di quella con cui [math]1/x[/math]
tende a infinito ( ricordiamo che [math]lim_(x->0) (1-\\cos x)/x=0[/math]
).
Per il secondo limite notevole, possiamo sfruttare il fatto che se
[math]x->0[/math]
allora i valori di [math]\\tanx[/math]
si approssimano con quelli di [math]x[/math]
[math]lim_(x->0) (\\tanx +1)^{1/x}=lim_(x->0) (1+x)^{1/x}[/math]
ma quest'ultimo è un limite notevole che dà come risultato [math]e[/math]
.
Da cui
[math]lim_(x->0) (\\cos x)^{1/x} \cdot (\\tanx+1)^{1/x}=1 \cdot e^1= e[/math]
FINE
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