Calcolare il limite
[math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}(ln((e^x-1)/x))/x[/math]
La forma è indeterminata,
[math]0/0[/math]
Infatti sostituendo il valore [math]x=0[/math]
, abbiamo al numeratore [math]ln1[/math]
ovvero [math]0[/math]
, per un limite notevole, e al denomintore ovviamente [math]0[/math]
Procediamo con il teorema di De L'Hopital.
Derivando, si ha[math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1[/math]
(con D intendiamo la derivata) [math]=\displaystyle{\lim_{x \to 0}}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)[/math]
Il denominatore della frazione più grande non lo ricopiamo, infatti esso vale [math]1[/math]
per lo stesso limite notevole di prima. Si ha [math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}(xe^x-e^x+1)/(x^2)[/math]
Derivando nuovamente [math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)[/math]
Semplificando [math]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}(e^x)/(2)=1/2[/math]
poichè è noto che [math]e^0=1[/math]
e quindi [math]e^0/2=1/2[/math]
FINE
![Esercizi sui limiti: [math]\lim_{{{x}\to{0}}}{\left(\frac{{{e}^{{{x}\cdot \ln{{x}}}}- \cos{{x}}}}{{{ \ln{{x}}^{2}-}{a}{r}{c}{t}{g}{x}}}\right)}[/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/images/stories/esercizi/lim1618.jpg)
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