Si calcoli
[math]\lim\limits_{x \to 0} \left( 1 - \sin(2x) \right)^{\frac{1}{\ln(1 + 5x)}}[/math]
Generalmente, si procede sfruttando il fatto che
[math]f(x)^{g(x)} = e^{\ln f(x) \cdot g(x)}[/math]
pertanto abbiamo [math]\lim\limits_{x \to 0} \left(1 - \sin(2x)\right)^{\frac{1}{\ln(1 + 5x)}} = \lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{\ln\left(1 - \sin(2x)\right)}{\ln(1 + 5x)}} = e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 - \sin(2x)\right)}{\ln(1 + 5x)}}[/math]
e quindi consideriamo il solo limite:[math]\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin(2x))}{\ln(1 + 5x)}[/math]
Vista la forma [math]0/0[/math]
, sfruttiamo il fatto che se [math]x \to 0[/math]
allora [math]\ln(1 - \sin(2x)) \approx -2x[/math]
e [math]\ln(1 + 5x) \approx 5x[/math]
[math]\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin(2x))}{\ln(1 + 5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{5x} = \frac{-2}{5}[/math]
Il risultato finale è dunque:
[math]\lim\limits_{x \to 0} \left( 1 - \sin(2x) \right)^{\frac{1}{\ln(1 + 5x)}} = e^{-\frac{2}{5}}[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
