{etRating 4} (Riferito a uno studente di scuola superiore).
Si calcoli
[math]lim_(x \
ightarrow 0) (1-\\sin2x)^{1/ln(1+5x)}[/math]
ightarrow 0) (1-\\sin2x)^{1/ln(1+5x)}[/math]
Generalmente, si procede sfruttando il fatto che
[math]f(x)^g(x)=e^{lnf(x) \cdot g(x)[/math}, pertanto abbiamo [math]lim_(x \
ightarrow 0) (1-\\sin(2x))^{1/ln(1+5x)} = lim_(x \
ightarrow 0) e^{ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)} = e^{lim_(x \
ightarrow 0) ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)}[/math]
e quindi consideriamo il solo limite:
ightarrow 0) (1-\\sin(2x))^{1/ln(1+5x)} = lim_(x \
ightarrow 0) e^{ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)} = e^{lim_(x \
ightarrow 0) ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)}[/math]
[math]lim_(x \
ightarrow 0) ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)[/math]
Vista la forma ightarrow 0) ln( 1-\\sin(2 \cdot x))/ln(1+5 \cdot x)[/math]
[math]0/0[/math]
, sfruttiamo il fatto che se [math]x->0[/math]
allora
[math]ln( 1-\\sin2x) \approx -2x[/math]
e
[math]ln(1+5x)\approx 5x[/math]
[math]lim_(x \
ightarrow 0) ln(1-\\sin2x)/ln(1+5x) = lim_(x \
ightarrow 0) (-2x)/(5x) = -2/5 [/math]
Il risultato finale è dunque:
ightarrow 0) ln(1-\\sin2x)/ln(1+5x) = lim_(x \
ightarrow 0) (-2x)/(5x) = -2/5 [/math]
[math]lim_(x \
ightarrow 0) (1-\\sin(2x))^{1/ln(1+5x)} = e^{-2/5}[/math]
FINE
ightarrow 0) (1-\\sin(2x))^{1/ln(1+5x)} = e^{-2/5}[/math]
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