Si calcoli il seguente limite
[math]lim_(x o 0) ((e^x-\\cosx)x)/(\\sin^2x)[/math]
Prima di iniziare, ripassiamo questi tre importanti limiti notevoli
[math]\lim_{x \to 0} \frac{\\sin(x)}{x}=1[/math]
[math]\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}=1[/math]
[math]\lim_{x \to 0} \frac{1 - \\cos(x)}{x}=0[/math]
Passiamo al limite: procedendo per sostituzione, otteniamo una forma indeterminata
[math]0/0[/math]
Operiamo qualche modifica: ad esempio moltiplichiamo la frazione per un fattore
[math]x/x[/math]
si ottiene
[math]lim_(x o 0) ((e^x-\\cosx)x)/(\\sin^2x) \cdot (x/x)[/math]
[math]lim_(x o 0)((e^x-\\cosx))/(\\sin^2x) \cdot (x^2/x)[/math]
ovvero
[math]lim_(x o 0)(e^x-\\cosx)/x \cdot x^2/(\\sin^2x)[/math]
E' evidente che la seconda frazione tende a
[math]1[/math]
in virtù del primo limite notevole. Per quanto riguarda la prima frazione, proviamo a sommare e sottrarre
[math]1[/math]
a numeratore. Otteniamo
[math]lim_(x o 0)(e^x-1+1\\cosx)/x \cdot (x^2/(\\sin^2x)[/math]
Possiamo quindi "spezzare" la frazione in questo modo
[math]lim_(x o 0)((e^x-1)/x+(1-\\cosx)/x) \cdot x^2/(\\sin^2x)[/math]
A questo punto il limite è pressochè risolto: usando i tre limiti notevoli che abbiamo ricordato, si ottiene
[math]lim_(x o 0)((e^x-1)/x+(1-\\cosx)/x) \cdot x^2/(\\sin^2x)=(1+0) \cdot 1=1[/math]
FINE
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