Si calcoli
[math]lim_(x o 0) (x(1-e^x))/(\\cosx-1)[/math]
La forma è chiaramente indeterminata. Si può procedere usando gli sviluppi asintotici o il teorema di De L'Hopital. Usando invece i limiti notevoli, possiamo procedere come segue.
Moltiplicando numeratore e denominatore per
[math]x[/math]
si ottiene [math]lim_(x o 0) (x(1-e^x))/(\\cosx-1) = lim_(x o 0)(1-e^x)/x (x^2)/(\\cosx-1)[/math]
Ora è utile moltiplicare il numeratore e il denominatore della seconda frazione per il termine
[math]1+\\cosx[/math]
[math]lim_(x o 0)(1-e^x)/x (x^2)/((\\cosx-1)(\\cosx+1))(\\cosx+1)[/math]
ma poichè [math](\\cosx+1))(\\cosx+1)=\\cos^2x-1=-\\sin^2x[/math]
si ottiene [math]lim_(x o 0) (1-e^x)/x (x^2)/(-\\sin^2x)(\\cosx+1)=lim_(x o 0) (e^x-1)/x (x^2)/(\\sin^2x)(\\cosx+1)[/math]
Ora abbiamo solo limiti notevoli Ricordando che
[math]lim_(x o 0) x/(\\sinx)=1[/math]
[math]lim_(x o 0) (e^x-1)/x[/math]
si conclude che il valore del limite è [math]2[/math]
FINE
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