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Si calcoli
[math]lim_(x o +oo) (1+1/(2x))^x[/math]
Osservando il limite, non possiamo non pensare al classico limite notevole
[math]lim_(x o +oo) (1+1/x)^x=e[/math]
Il limite può essere applicato solo se il coefficiente della
[math]x[/math]
al denominatore e della [math]x[/math]
all'esponente è uguale, quindi solo se abbiamo
[math]lim_(x o +oo) (1+1/x)^x[/math]
[math]lim_(x o +oo) (1+1/{2x})^{2x}[/math]
[math]lim_(x o +oo) (1+1/{3x})^{3x}[/math]
eccetera.
Per risolvere il limite proposto, dobbiamo quindi fare in modo che il termine al denominatore della frazione e l'esponente siano uguali.
Per fare ciò, eleviamo l'espressione tutta all'esponente
[math]2/2[/math]
(senza problemi, dato che [math]2/2=1[/math]
).
[math]lim_(x o +oo) (1+1/{2x})^x=lim_(x o oo) (1+1/{2x})^{x \cdot 2/2}=lim_(x o oo) (1+1/{2x})^{2x \cdot 1/2}=lim_(x o oo) ((1+1/{2x})^{2x})^{1/2}[/math]
Abbiamo utilizzato note proprietà delle potenze.
A questo punto poniamo
[math]2x=t[/math]
sapendo che anche [math]t[/math]
tende a infinito.
[math]lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^{1/2}[/math]
Riconosciamo subito il limite notevole, quindi
[math]lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^{1/2}=e^{1/2}[/math]
Possiamo generalizzare facilmente, immaginando che al posto di
[math]2[/math]
ci sia un numero [math]alpha[/math]
qualsiasi ma diverso da [math]0[/math]
.
[math]lim_(x o +oo) (1+1/(alphax))^x=e^{1/alpha}[/math]
Lo svolgimento lo lasciamo al lettore, che deve ragionare come prima, quinid moltiplicando al momento opportuno l'esponente per
[math]alpha/alpha[/math]
.
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