Si trovi il seguente limite
[math]lim_(x o 0)(\\logx-\\log\\tanx)/(1+x)^{1/x}[/math]
Osserviamo separatamente numeratore e denominatore.
Il numeratore
[math]\\logx-\\log\\tanx[/math]
può essere riscritto in questo modo
[math]\\log(x/\\tanx)[/math]
in virtù della nota proprietà del logaritmo.Il valore di x tende a zero, quindi l'argomento del logaritmo tende a uno, infatti
[math]x/(\\tanx)=\\cosx \cdot x/(\\sinx)=1 \cdot 1[/math]
sfruttando il limite notevole del rapporto tra arco e seno con argomento che va a zero.Pertanto, un logaritmo avente argomento che tende a 1, tende di per sè a zero
(infatti
[math]\\log1=0[/math]
).Abbiamo concluso che il numeratore tende a zero.
Il denominatore
[math](1+x)^{1/x}[/math]
può essere trattato più agevolmente se poniamo
[math]t=1/x[/math]
con [math]t->oo[/math]
dal momento che [math]x->0[/math]
ottenendo
[math](1+1/t)^t[/math]
E' facilmente riconoscibile il limite notevole, perciò possiamo dire senza problemi che il denominatore tende a
[math]e[/math]
Pertanto, la forma finale è
[math]0/e[/math]
ovvero
[math]0[/math]
FINE
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