I GRUPPI DI LIE-MATRICI

Oggi analizzeremo i gruppi di Lie. Per descrivere in maniera accurata i gruppi di Lie, dobbiamo ricorrere all'algebra delle matrici; una matrice è, per intenderci, una semplice tabella rettangolare, spesso quadrata, i cui numeri possono essere sommanti o moltiplicati.


[math]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&...&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&...&c_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ c_{n1}&c_{n2}&...&c_{nn}\\\end{bmatrix}[/math]


con
[math]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}e[/math]


[math]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{bmatrix}·\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ b_{n1}&b_{n2}&...&b_{nn}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_{11}&d_{12}&...&d_{1n}\\d_{21}&d_{22}&...&d_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ d_{n1}&d_{n2}&...&d_{nn}\\\end{bmatrix}[/math]

con

[math]d_{ij}=a_{i1}+b_{1j}+a_{i2}+b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}= \sum_{k=1}^{n} a_{in}b_{nj}[/math]
.


Esistono insiemi di matrici che formano un gruppo-a volte abeliano, altre no- con l'operazione di addizione oppure con quella di moltiplicazione. Nel primo caso-addizione-è facile dimostrare che l'elemento neutro è la matrice "zero".


[math]\begin{bmatrix}0&0&...&0\\0&0&...&0\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ 0&0&...&0\\\end{bmatrix}[/math]


E la matrice opposto a

[math]A[/math]
è quella indicata con
[math]-A[/math]
.


[math]A+(-A)=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n}\\-a_{21}&-a_{22}&...&-a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&...&-a_{nn}\\\end{bmatrix}=\\
=\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n}\\-a_{21}&-a_{22}&...&-a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&...&-a_{nn}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{bmatrix}=-A+A=0[/math]
.


Per il calcolo degli elementi inversi è sufficiente sapere che la matrice identità per l'operazione di moltiplicazione è la matrice che ha

[math]1[/math]
nella diagonale e
[math]0[/math]
nelle altre posizioni.


[math]\begin{bmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ 0&0&...&1\\\end{bmatrix}[/math]


Per quanto riguarda gli elementi delle righe e delle colonne della matrice inversa,

[math]A^{-1}[/math]
, bisogna risolvere un sistema di
[math]n^{2}[/math]
equazioni lineari le cui soluzioni,
[math]b_{ij}[/math]
, dipendono dalle condizioni iniziali:


[math]c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{12}b_{2j}+...+a_{1n}b_{nj}= \sum_{k=1}^{n} a_{in} b_{nj}[/math]
,
con
[math]c_{ij}=1[/math]
se
[math]i=j,c_{ij}=0[/math]
se
[math]i \neq j[/math]
.


A volte il sistema è risolvibile, altre volte no.

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