Oggi analizzeremo i gruppi di Lie. Per descrivere in maniera accurata i gruppi di Lie, dobbiamo ricorrere all'algebra delle matrici; una matrice è, per intenderci, una semplice tabella rettangolare, spesso quadrata, i cui numeri possono essere sommanti o moltiplicati.
con
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Esistono insiemi di matrici che formano un gruppo-a volte abeliano, altre no- con l'operazione di addizione oppure con quella di moltiplicazione. Nel primo caso-addizione-è facile dimostrare che l'elemento neutro è la matrice "zero".
E la matrice opposto a
=\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n}\\-a_{21}&-a_{22}&...&-a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&...&-a_{nn}\\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ \ddots & \ddots & & \ddots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{bmatrix}=-A+A=0[/math]
Per il calcolo degli elementi inversi è sufficiente sapere che la matrice identità per l'operazione di moltiplicazione è la matrice che ha
Per quanto riguarda gli elementi delle righe e delle colonne della matrice inversa,
con
A volte il sistema è risolvibile, altre volte no.
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