Espressioni con potenze: come svolgerle

In quest'appunto si troverà un breve excursus sul concetto di potenza, con particolare attenzione alla procedura di risoluzione delle espressioni con potenze. Inoltre, in fondo alla pagina, sono presenti degli esercizi svolti.

A cosa servono le potenze

In matematica, è fondamentale trovare degli escamotage per rendere la risoluzione di un esercizio o di un calcolo in generale più semplice e veloce.

Quest'approccio permette non solo di risparmiare tempo, ma anche di ridurre all'osso la possibilità di incorrere in errori, dovuti per esempio a trascrizioni errate. Le potenze aiutano a compattare un prodotto tra fattori uguali: esse non sono altro che moltiplicazioni ripetute.

Per capire l'utilità delle potenze basta pensare al ruolo che esse hanno nella notazione scientifica. In quel caso, il loro utilizzo permette la scrittura di numeri dall'ordine di grandezza molto elevato o molto piccolo, come il raggio di un pianeta o quello di un atomo. Se non ci fossero le potenze, sarebbe praticamente impossibile compiere calcoli con valori simili.

Cosa sono le potenze e come classificarle

Prima di passare alle regole fondamentali per risolvere correttamente le espressioni con potenze, è opportuno fare un piccolo accenno alle proprietà e alle caratteristiche di queste ultime.
Come abbiamo già anticipato, le potenze sono moltiplicazioni ripetute

volte tra fattori

uguali. Il numero

prende il nome di esponente, mentre

viene chiamata base. Quindi:

per

volte.

La base

può essere un numero negativo, positivo o una frazione e lo stesso discorso vale anche per l'esponente

. Conoscere bene tutti i casi è fondamentale per affrontare correttamente le espressioni con potenze. Ecco una lista, arricchita con opportuni suggerimenti per evitare di commettere errori di calcolo.

Le potenze con base intera ed esponente positivo

Il caso delle potenze con base positiva è il più semplice: è necessario, infatti, eseguire il prodotto senza particolari accortezze. Per esempio:

.

Le potenze con base razionale positiva

Nel caso delle potenze con base razionale, il risultato della potenza sarà il rapporto tra il numeratore elevato all'esponente sul denominatore elevato all'esponente. Quindi:

Le potenze con base negativa

Per risolvere le potenze con base negativa è opportuno svolgere il prodotto come al solito e guardare il numero al denominatore per definirne il segno del risultato. Le seguenti regole valgono sia per le potenze con base intera che per quelle con base razionale:

• se l'esponente è un numero pari, il risultato sarà positivo
• se l'esponente è un numero dispari, il risultato sarà negativo

Il motivo alla base di queste regole risiede nella moltiplicazione tra segni (

e

). Infatti:

• se si moltiplica per un numero pari di volte (ad esempio 4) un numero negativo, accade che:
  [math]-\cdot-=+, +\cdot-=-, -\cdot+=-, -\cdot-=+[/math]
  . Il risultato è positivo.
• se invece si moltiplica per un numero dispari di volte (ad esempio 3) un numero negativo, accade che:
  [math]-\cdot-=+, +\cdot-=-, -\cdot+=-[/math]
  . Il risultato è negativo.

Le potenze con esponente negativo

Il risultato di una potenza con esponente negativo è pari alla potenza con esponente positivo del reciproco della base. Ossia:

Le stesse regole valgono anche con base razionale o negativa.

Le potenze con esponente razionale

Definito

il numeratore dell'esponente e

il denominatore dell'esponente, il risultato di una potenza con esponente razionale sarà la radice p-esima della potenza q-esima della base. Se

:

Gli step per risolvere le espressioni con potenze

Passiamo alle espressioni con potenze. Per svolgere un'espressione correttamente è fondamentale:

• svolgere in modo opportuno le operazioni presenti (addizioni, moltiplicazioni, divisioni e sottrazioni)
• seguire l'ordine delle parentesi corretto, cioè calcolare prima le quantità in parentesi tonde, poi in parentesi quadre e infine in parentesi graffe

Come svolgere le addizioni e le sottrazioni tra potenze

Purtroppo non ci sono particolari proprietà da sfruttare per semplificare le operazioni di addizione e sottrazione tra potenze. Bisogna, infatti, svolgerle ed eseguire il calcolo in questo modo:

Come svolgere le moltiplicazioni e le divisioni tra potenze

Per quanto riguarda le moltiplicazioni, è possibile semplificare il prodotto tra potenze se queste hanno la stessa base. Il risultato sarà una potenza avente come base la stessa base dei fattori e come esponente la somma degli esponenti dei fattori. In particolare:

.

Inoltre, è possibile semplificare anche il prodotto tra potenze aventi lo stesso esponente e basi differenti. In questo caso, il risultato sarà una potenza che avrà come esponente lo stesso esponente dei fattori e come base il prodotto tra le basi. Dunque:

Questo discorso può essere esteso anche alla divisione tra potenze aventi la stessa base, per cui il risultato sarà una potenza avente come base il rapporto tra le basi delle due potenze e come esponente la differenza tra gli esponenti delle due potenze. Cioè:

Anche in questo caso, è possibile semplificare la divisione tra potenze aventi lo stesso esponente e basi diverse. Il risultato sarà una potenza avente lo stesso esponente della precedente e come base il rapporto tra le basi del divisore e del dividendo. Ossia:

Come si svolge la potenza di una potenza

Può capitare di dover elevare a potenza una potenza. In questo caso, il risultato sarà una potenza avente la stessa base della potenza di partenza e come esponente il prodotto tra l'esponente della potenza di partenza e quello della nuova potenza:

Questi sono gli ingredienti fondamentali per risolvere correttamente le espressioni con potenze. Di seguito troverai un esercizio per mettere in pratica tutte le informazioni appena apprese.

Esercizio e soluzione sulle espressioni con potenze

Svolgi la seguente espressione con potenze:

Svolgimento dell'esercizio precedente

Bisogna eseguire prima le operazioni in parentesi tonda, quindi una moltiplicazione tra potenze aventi medesimi esponente e base e una divisione tra potenze aventi stessa base.

Qui dobbiamo svolgere una divisione e una moltiplicazione tra potenze aventi la stessa base.

Per ulteriori informazioni sulle espressioni con potenze vedi anche qua