Equazioni diofantee di secondo grado a due incognite

Equazioni diofantee di secondo grado a due incognite

Per equazioni diofantee di secondo grado a due incognite intendiamo espressioni del tipo Studiamo ora la risoluzione di queste.
Facciamo un esercizio semplice. Determina tutte le coppie di interi positivi (x, y) tali che:
OK, pensiamo ora alla scomposizione dei polinomi, è una somma per una differenza.
Ora, dobbiamo andare per tentativi. Bisogna cercare tutti gli interi che moltiplicati danno 56. Scomponendo 56, si ottiene che 56 = 7*2³
Poniamo:
x-y=1
x+y=56
Sottraiamo le due equazioni: x+y-(x-y)=x+y-x+y=2y=55
Si nota quindi che i numeri che moltiplicati tra loro danno 56 devono essere tali che la loro differenza sia pari, visto che siamo alla ricerca di soluzioni intere.
Poniamo ora:
x-y=2
x+y=28
E va bene perché 26 è pari.
Si ottiene che x+y-(x-y)=26, da cui 2y=26 e y=13, quindi x=15.
Poniamo ora:
x-y=4
x+y=14
x+y-(x-y)=10, quindi 2y=10 e y=5. x=9.
Poniamo ora:
x-y=7
x+y=8
Ed è da escludere perché 1 è dispari.
Si conclude quindi che le coppie di numeri interi (x, y) sono due: (15, 13); (9, 5).
Escludiamo gli altri casi poiché, dato che siamo alla ricerca di soluzioni intere, non possiamo mai porre una differenza di due numeri interi maggiore della loro somma!
Si otterebbero delle soluzioni relative.