Un rombo è una figura geometrica avente quattro lati e quattro angoli, caratterizzata dall'avere tutti e quattro i lati uguali.
I segmenti che congiungono due vertici opposti del rombo sono dette diagonali, e ne esistono due, una maggiore e una minore.
In particolare, noti perimetro e area siamo in grado di determinare anche le misure delle diagonali. Si osserva, a tal proposito, che conoscere il perimetro equivale a conoscere la misura di un lato, perché, come detto poco fa, il rombo ha 4 lati uguali. Pertanto il perimetro sarà uguale a 4 volte la misura di quel lato.
Vediamo ora nel dettaglio la risoluzione dell'esercizio in questione, che consisterà nel mettere a sistema le due condizioni a noi note.
Testo dell'esercizio
Determina le diagonali di un rombo di cui sono noti perimetro e area.
Svolgimento dell'esercizio
Denotiamo con[math] 2p, A [/math]
il perimetro e l'area, rispettivamente.Ricordiamo che la formula per l'area di un rombo è, note le diagonali
[math] d_1 [/math]
, [math] d_2 [/math]
:[math] A = \frac{d_1 d_2}{2} [/math]
[math] \begin{cases} A = \frac{d_1d_2}{2} \\ \frac{p}{2} = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \end{cases} [/math]
[math] \sqrt{\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}} [/math]
[math] 2 [/math]
ambo i membri si ottiene la seconda riga del sistema. Elevando tale riga, si ottiene:[math] d_1^2+d_2^2 = \frac{p^2}{4} [/math]
[math] d_1^2+d_2^2 + 2d_1d_2 = \frac{p^2}{4} + 4A [/math]
[math] d_1 + d_2 = \sqrt{\frac{p^2}{4} + 4A} [/math]
[math] d_1^2+d_2^2 - 2 d_1 d_2 = \frac{p^2}{4} - 4A \to d_1-d_2 = \sqrt{\frac{p^2}{4}-4A} [/math]
[math] d_1 = \frac{\sqrt{\frac{p^2}{4} + 4A} + \sqrt{\frac{p^2}{4}-4A}}{2} [/math]
[math] d_2 [/math]
come [math] d_2 = (d_1 + d_2) - d_1[/math]
, dove la prima somma tra parentesi è nota, mentre la prima quantità è stata determinata prima.
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