Determina la lunghezza dei lati di un rettangolo di perimetro
inscritto in una circonferenza di raggio
.
Svolgimento
Chiamiamo i lati del rettangolo con le incognite
e
:
Sappiamo che il raggio della circonferenza, che corrisponde a metà diagonale del rettangolo, misura
:
Inoltre, il perimetro del rettangolo misura
:
Possiamo ricavare la diagonale del rettangolo in funzione di
e
con il teorema di Pitagora:
Quindi abbiamo che:
Possiamo quindi impostare un sistema:
left{ \begin{array}{rl}
2x + 2y = 280 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Dividiamo tutto per 2 nella prima equazione:
left{ \begin{array}{rl}
x + y = 140 &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Ricaviamo un'incognita dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:
left{ \begin{array}{rl}
x = 140 - y &\
sqrt{x^2 + y^2} = 100 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sapendo che la somma di due quadrati è sempre positiva, non è necessario porre le condizioni di esistenza.
Sostituiamo il valore di x nella seconda equazione:
Eleviamo tutto al quadrato:
Dividiamo per 2:
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta
:
Troviamo i corrispondenti valori di
:
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