Numeri complessi: Descrivere l'insieme dei numeri complessi z per cui Im(z) - | z + \bar{z}|^2 < 1

Procediamo considerando un generico numero complesso

della forma

; ricordando che il coniugato di un numero complesso equivale al numero complesso che ha stesa parte reale e parte immaginaria opposta, la nostra diseguaglianza diventa:

Svolgiamo i calcoli all'interno del modulo, ed eleviamo al quadrato:

Portiamo tutto a primo membro, cambiamo segno alla diseguaglianza e invertiamo il verso:

Ricordiamo che nel piano complesso la parte reale del numero rappresenta l'asse orizzontale, mentre la parte immaginaria l'asse verticale; ovvero :

La nostra diseguaglianza diventa quindi:

Cioè:

Riconosciamo in tale espressione l'equazione di una parabola con asse coincidente con l'asse verticale (

).
In particolare, il segno

(minore) ci indica che la diseguaglianza rappresenta tutti i punti del piano che si trovano al di sotto di tale parabola.

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