Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: [math] z^2 = ( \bar{z})^2 * \Big(4 (|z|)^2 - 1 \Big) [/math]

Per risolvere l'equazione non conveniente utilizzare la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Procediamo, quindi, rappresentando il numero complesso

nella forma , e sostituendo all'interno dell'equazione; ricordiamo che se , allora si ha che:

Procediamo con la sostituzione:

Svolgiamo i calcoli a primo e secondo membro:

Ricordiamo la relazione fondamentale per cui

:

Svolgiamo il prodotto a secondo membro:

Eliminiamo i termini opposti:

Ora che abbiamo semplificato l'equazione, possiamo procedere al passo successivo: per determinare i valori di

e che soddisfano l'uguaglianza, dobbiamo uguagliare parti reali e parti immaginarie.
In questo caso, quindi, deve valere il seguente sistema:

Dalla prima equazione si ha:

Mettiamo in evidenza il termine

:

Poiché il secondo fattore sempre positivo o nullo, l'uguaglianza verificata per

, ovvero .
Studiamo, quindi, cosa accade nella seconda equazione per i valori di e determinati al passo precedente:

Risolviamo in

:

Da cui si ottengono i seguenti valori di

:

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso

:

Da cui si ottengono i seguenti valori di

:

Concludiamo, quindi, che i numeri complessi che soddisfano l'equazione iniziale sono quelli per cui:

ovvero:

e quelli per cui:

ovvero:

E inoltre valida anche la soluzione nulla, ovvero

.

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