Teoria sulle derivate elementari - Tesina per scuola media

Fino ad ora potrebbe sembrare che il calcolo delle derivate sia legato

alla risoluzione di mostruosi limiti di funzioni algebriche. Per fortuna

esistono piccole regole che, una volta imparate, ci permettono un

rapido calcolo delle più comuni funzioni che potrai incontrare.

Fino ad ora dovrebbe esser chiaro che la derivata permetta la

trasformazione di una funzione di partenza in un' altra .

Es. la derivata di

È semplicemente :

3 2

 

y x 4x

2

 

y ' 3 x 8

Come ho fatto ?

Praticamente devi prendere l' esponente delle lettere e moltiplicarlo

per il loro coefficiente. L' esponente della lettera sarà quindi diminuito

di un' unità.

Quindi nella prima equazione , l' esponente del primo termine è 3 , il

coefficiente è 1 , 3 x 1 = 3 ; l' esponente da 3 diventa 2 nella 2°

equazione .

Sempre nella prima equazione nel secondo termine il coefficiente è 4

e l' esponente è 2 , quindi 4 x 2 =8 ; l' esponente da 2 diventa 1 nella

2° equazione .

La derivata di una costante è sempre 0.

N:B:

Per costante si identifica una lettera che non è X ( per esempio una

Altra lettera o un numero )

Altre derivate :

Derivata del prodotto di una costante per una funzione :

d ( A f(x) ) =A f'(X)

dx

E' uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

Derivata di una somma :

d ( f(x) + g(x) ) = f'(X) + g'(X)

dx

La derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle

derivate delle funzioni stesse

Derivata di un prodotto

d ( f(x) . g(x) ) = f'(X) g(X) + f( X) g'(X)

dx

La derivata di un prodotto è uguale alla somma del prodotto della

prima funzione derivata per la seconda non derivata e della prima non

derivata per la seconda derivata.

Derivata di un quoziente :

d ( f(x) / g(x) ) = f'(X) g(X) - f( X) g'(X)

dx g(X) 2

La derivata di un quoziente è uguale alla differenza del prodotto

della prima funzione derivata per la seconda non derivata e della

prima non derivata per la seconda derivata diviso il quadrato della

seconda funzione non derivata .

Significato geometrico di una derivata

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente

angolare della retta tangente in quel punto. Questo a sua volta è

uguale alla tangente trigonometrica dell' angolo che forma con l' asse

delle X. ( vedi fig. 1)

Fig. 1

Ricorda che se la funzione è derivabile in un punto , allora il quel

punto la funzione è continua. ( condizione necessaria ma non

sufficiente ) . Questo vuol dire che vi sono punti in cui la funzione è

Continua ma in cui non esiste la derivata ( la funzione non accetta

limiti )

Tabella

Derivate

y = c y' = 0 y = logx = 1



y ' x

lnx

y = x y' = nx y = a y' = a loga

n n-1 x x

y = y' = cosx y = e y' = e

x x

senx 1



y ' 2

y = y' = -senx y = arc 

1 x

cosx senx 1

1 2 



y '

  

y ' 1 tg x

y = tgx y = arc

2 2

cos x 

1 x

cosx

1 1

2

     

y ' (

1 ctg x ) y '

y = y = arc tgx

2 2



sen x 1 x

ctgx 1 1



y x 

y '  

y '

y = arc 2

2 x 

1 x

cotgx  

   

1  

g x

 

 n  

y x f ' x



y f x g x

 

       



y '  

y ' f x g ' x log f x g x

 

 

n 

n 1 f x

n x  

y = 1 1

 

y ' log e

a

log x x x ln a

a

Dc = 0

Funzione potenza 1 1 1

x 

D x

n

sgn 

D x = 1 D x x  

D

 

n n 1

Dx nx n 

n 1

x 2

x x

n x

1



D x 2 x

Funzioni goniometriche