Trasduttori e Derivate

TRASDUTTORI, CNC, LOTTO ECONOMICO, DERIVATE

 RISOLUZIONE : è la capacità del trasduttore di far variare anche in minima

parte il segnale d’uscita. Più è piccola la variazione, più si ha una buona

risoluzione.

TRASDUTTORI DI POSIZIONE

Sono in grado di fornire in uscita una tensione proporzionale alla posizione di un

cursore d’ingresso. Il modello è di tipo resistivo, sfrutta il cambiamento della

resistenza elettrica dalla lunghezza del pezzo di materiale conduttore che si usa nel

trasduttore. Questo è chiamato POTENZIOMETRO. E’ costituito da un elemento

resistivo fisso, ai cui capi viene applicata una tensione V, costante, e sul quale scorre

un cursore collegato alla parte mobile.

Ne esistono di tipo lineare o angolare.

Nel caso “lineare”, la tensione sarà proporzionale allo spostamento lineare del cursore

sulla resistenza avvolta in un supporto dritto.

Nel caso “angolare”, la resistenza sarà avvolta ad anello, la tensione in uscita sarà

proporzionale allo spostamento angolare del cursore, quindi l’uscita dipende

dall’angolo α del cursore rispetto al punto d’origine.

TRASDUTTORI DI VELOCITA’ La velocità che di solito si vuole controllare, è

quella della rotazione di un asse di una

macchina. Quindi si tratta di una velocità

angolare (numero di giri al secondo o al

minuto).

Il trasduttore più utilizzato per questo scopo è

la DINAMO TACHIMETRICA.

E’ un piccolo generatore rotante di tensione

continua, che fornisce in uscita un segnale di

tensione Vu proporzionale alla velocità di

rotazione dell’asse su cui viene posto.

TRASDUTTORI DI TEMPERATURA 4

TRASDUTTORI, CNC, LOTTO ECONOMICO, DERIVATE

I trasduttori di temperatura più comuni e diffusi sono le TERMOCOPPIE. Fanno ricorso

all’effetto Seebeck, cioè tra due morsetti di un circuito formato da due conduttori di

materiali differenti, nasce una forza elettromotrice, se le due temperature dei due

materiali conduttori sono a temperature differenti; la tensione generata è

proporzionale alla differenza tra le due temperature.

Esistono anche altri trasduttori di temperatura, i TERMISTORI, che hanno la capacità di

variare in modo preciso la propria resistenza in funzione della temperatura. Ne

esistono di due tipi: aumenta

PTC = la resistenza all’aumentare della temperatura

diminuisce

NTC = la resistenza all’aumentare della temperatura

A questi componenti viene applicata una tensione costante ed essi sono attraversati

da una corrente, da cui dipende il suo valore delle temperature del termistore.

TRASDUTTORI DI PRESSIONE

In genere la conversione di una pressione in una grandezza elettrica viene ottenuta

con due metodi. La prima storicamente più

utilizzata, consiste nel convertire una pressione

o forza meccanica in uno spostamento; ciò può

essere effettuato tramite la deformazione di

elementi elastici come membrane o soffietti.

Questa deformazione porta lo spostamento del

cursore di un potenziometro, causando la

variazione di resistenza del potenziometro

stesso.

Esistono componenti più moderni, disponibili al

silicio, la cui resistenza varia con la pressione

esterna del componente; essi vengono

chiamati ESTENSIMETRI.

Questi componenti, come gli attuatori sono dispositivi, che vengono usati

maggiormente nei sistemi d’automazione come i Robot e le Macchine CNC, diffuse

soprattutto nelle fabbriche e nelle aziende meccaniche.

Sistemi d’automazione, come le macchine utensili controllate dal computer. Il sistema

CNC.

TRASDUTTORE DI TRASDUTTORE DI

POSIZIONE PRESSIONE

TRASDUTTORE DI

VELOCITA’ 4

TRASDUTTORI, CNC, LOTTO ECONOMICO, DERIVATE

SLITTA – CARRELLO TORNIO CNC

MORSE – MANDRINO

In the last decades, industrial production on a large scale has allowed and enhanced

an incessant growth of robotics and automation technologies. The development of

automation in the manufacturing process was based on Computerized Numerical

Control CNC, a computer-aided system which controls machinery through conventional

instructions. Nowadays the development of new automation devices is still in progress

and scientists and engineers are experimenting with giving machines “artificial

intelligence”, that is a sort of computer brain. CNC refers to the use of computer to

create metal parts and products for equipment and machines. With the advent of

information technology in the 1970s machining was combined with computers, and

the result was more efficient output operations, higher endurance, and greater

accuracy. In CNC a machine tool is controlled using text strings which represent

specific motions and actions. that follow some accurate directions, respecting the

horizontal and vertical coordinates.

Programmed numeric values are directly inserted and stored on some form of input

medium, G-codes and automatically read and decoded to cause a corresponding

movement in the machine which it is controlling. In the market there are other CNC

machines, as the milling machine and lathe which exploit G-codes to produce large

amount of metal parts. The complete listing G codes includes more than sixty codes.

“G – CODES” FREQUENTLY USED IN THE CNC

G0 Positioning in rapid Posizionamento a velocità rapida

0 4

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G0 Linear Interpolation Interpolazione lineare (Avanzamento in

1 lavoro)

G3 Electronics Thread Filettatura Elettronica (In una sola

3 passata)

G9 Programming absolute Programmazioni in coordinate assolute

0 coordinate

G9 Advancing in mm/min Avanzamento in mm/min

4

G9 Advancing in mm/giro Avanzamento in mm/giro

5

G9 Steady Speed Cut Velocità di taglio costante

6

G9 Steady Revolutions Per Minute Numero di giri costante (giri/min)

7 Number

Una riga di comando come questa : G00 X100 Z100 rappresenta il distacco

dell’utensile dal pezzo, posizione ideale per un eventuale cambio utensile. Invece un

G90 G95 G96 S80 è una delle prime righe di comando da inserire nel Tornio CNC per

programmare i primi parametri fondamentali. Lavorare in coordinate assolute con

G90 , eseguire qualsiasi lavorazione successiva con avanzamento in mm/giro ed una

G95, G96 e S80

velocità di taglio costante a 80 m/min. ( ).

Ogni azienda che lavora con macchine CNC deve tener conto di tantissimi fattori; tra

cui uno dei più importanti è la gestione dei costi di produzione. Essi vanno a pari passo

LOTTO

con un elemento altrettanto fondamentale da non trascurare mai, che è il

ECONOMICO.

Il lotto economico è la quantità di pezzi per cui il costo è minimo. Il lotto economico,

rappresentato di solito con la X si calcola tenendo conto di alcuni elementi

fondamentali come:

 Il costo della materia prima [€/pz] ---- CT

rappresentato con

La materia prima consiste nel materiale base per la fabbricazione e produzione

di componenti che devono essere creati. In ambiente meccanico sono di solito

metalli, leghe.

 Il costo manodopera [€/pz] ---- CO

rappresentato con

Consiste nel costo per l’azienda della forza lavorativa durante la creazione di un

pezzo

 Le spese annue magazzino [€/pz] ---- CZ

rappresentato con

Le spese di mantenimento della merce nel magazzino

 Le spese per preparazione macchine [€/lotto] ---- CM

rappresentato con

 Tasso interessi ---- IN

rappresentato con

Interesse sulla produzione in quel periodo

 La quantità dei componenti/pezzi da produrre [pezzi] ---- rappresentato

QU

con 4

TRASDUTTORI, CNC, LOTTO ECONOMICO, DERIVATE

 E’ il lotto economico (X) [pezzi] LOT

---- rappresentato con

Per trovare il LOTTO ECONOMICO (X) ci sono diverse formule, io ne ho scelto una che

racchiude tutti questi elementi elencati precedentemente:

C = + +

Ora per illustrare come si calcola il LOTTO ECONOMICO, propongo un esempio. Bisogna

produrre 20.000 alberi filettati. Prendiamo i seguenti valori:

DATI : CT =0.52 €/pz CO = 5.09 €/pz CZ = 0.31 €/pz CM = 325 €/lotto IN = 12 %

QU = 20.000

SVOLGIMENTO

Per trovare questo valore bisogna porre la derivata della funzione uguale a Ø.

Questa funzione ha un andamento del tipo

rappresentato in figura.

Arrivati a questo punto, bisogna risolvere

usando lo studio delle funzioni.

Derivata di una costante, cioè di un numero naturale (5.61) è Ø; invece di un numero

.

fratto x si sviluppa così: . Per concludere si sviluppa la frazione 4

TRASDUTTORI, CNC, LOTTO ECONOMICO, DERIVATE

= 0

Questo è il lotto economico, cioè il numero di pezzi per cui il costo è minimo. Per

produrre 20.000 alberi filettati, mi occorre dividerli quindi in lotti da 1400 pezzi.

Si può notare benissimo, che seguendo questa formula, facendo tutti i calcoli esatti si

arriva a calcolare il lotto economico. Un valore che rappresenta il numero di

pezzi/componenti da produrre per cui il costo è minimo. Però per arrivare a calcolare

questo valore, bisogna dopo alcune operazioni, calcolare alcune derivate. Quindi

bisogna essere in grado di avere dimestichezza con il calcolo delle derivate.

La derivata è un elemento importantissimo nell’analisi matematica di una funzione e

del suo calcolo. derivata.

Esaminiamo da vicino cos’è una

y = f(x ) y = f’(x )

Iniziamo da una funzione: . La sua derivata è . La derivata è

0 0

essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in

corrispondenza della x. Geometricamente parlando la

derivata di questa funzione, f in un

punto x è la misura della pendenza

0

della retta tangente alla curva

rappresentata dal grafico della

[x ; f(x )].

funzione nel punto 0 0

La derivata si chiama derivata prima

(‘), se si fa la derivata di essa

y=f’(x ) si ottiene la derivata

0

y = f’’ (x ).

seconda Dalla derivata seconda si ottiene la terza e cosi via.

0

Esistono regole di derivazione delle funzioni, ora ne vediamo alcune.

 La derivata di una funzione costante è 0

Y = k y’ = 0

Dal grafico della funzione Y = k è semplice notare che la tangente al grafico in ogni

punto è rappresentata da una retta orizzontale con coefficiente angolare m = f’(x) =

0. 4

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 f = (x) = senx f’(x) = cosx

La derivata della funzione è

 f = (x) = cosx f’(x) = - senx

La derivata della funzione è

 y = lnx y’ = 1/x

La derivata della funzione di è

Esistono teoremi, regole associabili alle derivate. Il teorema di Lagrange, il teorema di

Rolle, il teorema di Cauchy e la regola di DE L’HOSPITAL.

Per esempio, prendiamo questo limite:

x x x x

0 0

per calcolare il limite “forma indeterminata” ∞ su ∞ bisogna calcolare il limite delle

sue derivate

ESEMPIO

In questo caso in cui il limite risulta “forma indeterminata”, zero su zero bisogna

applicare la regola di DE L’HOSPITAL. Questa consiste nel calcolare la derivata prima di

2 2

x – 9, che risulta essere 2x – 0; e la derivata prima di x – 5x + 6 invece risulta essere

2x - 5 + 0. Trovate le derivate bisogna calcolare il loro limite. Così :

Questa regola si usa per calcolare i limiti che si presentano in forma

indeterminata 0 su 0, ∞ su ∞. 4

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Questa regola viene associata nel calcolo dei limiti di due funzioni. Rispecchia da

vicino una regola di derivazione, cioè la somma di due funzioni:

la sua derivata prima si calcola con la somma di esse

Differente invece è il calcolo della derivata tra una moltiplicazione:

la sua derivata prima si calcola cosi:

Un altro concetto fondamentale riguardante le derivate sono i punti stazionari di

minimo e massimo relativo. Esaminiamoli più da vicino.

Iniziamo definendo cosa sono i:

 PUNTO DI MINIMO RELATIVO I

Data una funzione f(x) definita in un intervallo il punto x dell’intervallo si dice di

0

I

minimo relativo se esiste un intorno x0 tale che f(x ) sia ≤ del valore della funzione

0

I

per ogni x dell’intorno x

0.

 PUNTO DI MASSIMO RELATIVO I

Data una funzione f(x) definita in un intervallo il punto x dell’intervallo si dice di

0

I

massimo relativo se esiste un intorno x0 tale che f(x ) sia ≥ del valore della funzione

0

I

per ogni x dell’intorno x

0.

Per calcolare questi due punti, propongo un esempio:

3

y = x – 3x +2

Troviamo per prima cosa il DOMINIO o CAMPO D’ESISTENZA (C.E.), poi calcoliamo la

derivata prima 2

della funzione che è y’ = 3x – 3 e la poniamo uguale a zero.

y’ = 0 Facendo cosi troviamo i punti stazionari

2 2