Teorema fondamentale del calcolo integrale

Luca Lussardi, Appunti di Analisi I

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce lo strumento essenziale per il calcolo effettivo di integrali; inoltre esso rappresenta il raccordo tra calcolo delle derivate e calcolo integrale, mostrando che sono uno l’inverso dell’altro. Per questi motivi il Teorema fondamentale del calcolo integrale rappresenta il risultato fondamentale dell’intero calcolo infinitesimale in una variabile reale.

Proprietà elementari dell’integrale di Riemann

Siano f, g: [a, b] → R due funzioni limitate e integrabili secondo Riemann su [a, b], con a, b reali, e sia c ∈ R; allora valgono le proprietà:

1) f + g è integrabile e si ha

∫_a^b (f(x) + g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.

2) cf è integrabile e si ha

∫_a^b (cf(x)) dx = c ∫_a^b f(x) dx.

3) Se f ≤ g si ha

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.

4) Per ogni d ∈ (a, b) si ha

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^d f(x) dx + ∫_d^b f(x) dx.

5) |f| è integrabile e si ha

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b |f(x)| dx.

Il teorema della media

Sia f: [a, b] → R una funzione integrabile secondo Riemann; il numero reale

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b − a ∫_a^b f(x) dx

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