Teorema fondamentale del calcolo integrale

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Primo teorema fondamentale del calcolo

Sia f una funzione continua in un intervallo aperto contenente l'intervallo [a, b].

Sia G(x) = ∫_a^x f(t) dt per a < x < b. Allora G è derivabile in [a, b] e la sua derivata è f; cioè:

G'(x) = f(x).

Secondo teorema fondamentale del calcolo

Se f è continua in [a, b] e se F è una qualunque antiderivata di f, allora:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).

I due teoremi ci dicono che:

• Ogni funzione continua ha una antiderivata;
• Per calcolare l'integrale definito di una funzione continua, possiamo prima trovare una sua antiderivata e poi fare la differenza tra i valori che questa funzione assume agli estremi dell'intervallo d'integrazione.

Quello che i Teoremi Fondamentali del Calcolo non garantiscono è che l'antiderivata di una funzione continua possa essere scritta in termini di funzioni elementari (polinomi, seno, coseno, radici, esponenziali e logaritmi). Essi ci danno, comunque, un semplice metodo per valutare l'integrale permettendoci di scegliere qualunque antiderivata della funzione integranda.

Troviamo ∫_a^b t² dt.

Un'antiderivata di t² è F(t) = t³/3, così che l'integrale è:

F(b) - F(a) = b³/3 - a³/3.