Calcolo delle probabilità: lo schema di Bernoulli e teorema di Bayes

In quest'appunto sono presenti delle informazioni generali sulla probabilità, con un approfondimento sul teorema di Bernoulli e il teorema di Bayes.

Che cos'è la probabilità

La probabilità è un concetto matematico che aiuta a quantificare quanto sia probabile che un evento si verifichi oppure no.

Gli eventi sono un insieme di risultati legati a un valore di probabilità. Essi possono essere impossibili - qualora la possibilità che si verifichino sia nulla - , certi - se si verificano con certezza - o aleatori, se la probabilità che si verifichino è inclusa tra 0 e quella unitaria. In tal caso, definito l'evento, la probabilità viene calcolata come il rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali.

Un esempio di evento aleatorio è "se lancio una moneta ottengo testa" poiché considerando che i casi positivi sono uno e che i casi totali sono due (testa o croce), la probabilità ammonta a

.

I teoremi del calcolo della probabilità: il teorema di Bayes e il teorema di Bernoulli

I teoremi assumono un ruolo importante anche nel calcolo della probabilità: in quest'appunto approfondiremo il teorema di Bayes e il teorema di Bernoulli.

Il primo è riferito alla probabilità condizionata, la quale può essere calcolata nel caso in cui il verificarsi di un evento - definito evento condizionato - è influenzato da un altro evento - chiamato evento condizionante. Il teorema di Bayes infatti afferma che la probabilità condizionata di un evento

rispetto a un evento

possa essere calcolata come il rapporto tra il prodotto tra la probabilità di

condizionata da

per la probabilità indipendente dell'evento

e la probabilità indipendente dell'evento

.

Il teorema di Bernoulli d'altro canto aiuta a contare, dopo aver ripetuto diverse volte uno stesso fenomeno, quante volte un certo evento si è ripetuto. Tale probabilità è valutata attraverso la definizione di due variabili aleatorie, rispettivamente riferite al numero di casi positivi e al numero di casi negativi. Ognuna ha un valore di probabilità.
Per calcolare numericamente la probabilità si deve moltiplicare il numero di sequenze di fallimenti e successi ai loro valori di probabilità. La formula è

.

In cui

è il numero di tutti gli eventi,

è il numero degli eventi positivi.

sono rispettivamente le probabilità legate all'evento positivo e il secondo a quelli negativi.

Esempio svolto sul calcolo della probabilità

Si consideri l'esperimento consistente nel lancio contemporaneo di due dadi. Uno di essi è un dado non truccato, ovvero ciascuna faccia ha la stessa probabilità di manifestarsi. L'altro dado, invece è truccato e la probabilità

associato all'esito dell'

-esima vale:

• calcolare la probabilità che la somma dei numeri risultanti dall'esperimento sia pari a
  [math]10[/math]
• si considerino
  [math]n[/math]
  ripetizioni indipendenti dell'esperimento precedente e sia
  [math]X[/math]
  una variabile aleatoria corrispondente al numero di volte che il lancio ha dato esito pari a
  [math]10[/math]
  . Scrivere l'espressione della densità di probabilità
  [math]f_{X}(k)[/math]
  della variabile aleatoria
  [math]X[/math]
• scelto uno dei due dadi a caso e lanciato, calcolare la probabilità che esso sia il dado truccato noto che l'esito del lancio è stato
  [math]6[/math]

Denotando con

l'esito del lancio del primo dado, con

l'esito del lancio del secondo dado, quello truccato, e con

la somma dei punteggi:

(1)

Considerando che i lanci dei due dadi sono eventi indipendenti, (1) diventa

(2)

Dato che

è una variabile aleatoria discreta, la sua densità di probabilità vale

La probabilità che la somma dei punteggi ottenuti con un lancio sia

vale

, come calcolato precedentemente, quindi la probabilità che, su

lanci, si ottenga come somma

solo nei primi

lanci vale

(2)

dato che ogni lancio è indipendente dall'altro. La probabilità che, su

lanci, si ottenga come somma dei punteggi

in

lanci, è data dal prodotto di (2) e il numero di modi con cui si distribuiscono

successi su

tentativi, ovvero

.

Pertanto, la densità di probabilità della variabile aleatoria

vale

Per risolvere il terzo punto, indichiamo con

l'evento "è stato scelto il dado truccato", con

l'evento "è stato scelto il dado non truccato", e con

l'evento è uscito

, allora

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo della probabilità vedi anche qui