Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al settimo ordine: f(x)=x*e^(sin(x^2))

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Per la risoluzione dell'esercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale e seno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza centrato nel punto

[math]x_0=0[/math]

Ricordiamo lo sviluppo fondamentale della funzione seno:

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots + \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{{2n+1}!} + o(z^{2n+1}) [/math]

e della funzione esponenziale:

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \cdots + \frac{z^n}{n!} + o(z^n) [/math]

Possiamo inizialmente concentrarci sull'espressione

[math]e^{\sin(x^2)} [/math]

, e svilupparla al sesto ordine; in questo modo, in quanto moltiplicata per

[math]x[/math]

nella funzione di partenza, otterremo un settimo ordine totale.

Possiamo quindi cominciare provando a sviluppare la funzione seno al terso ordine:

[math] \sin(z) = z - \frac{z^3}{6} + o(z^3) [/math]

Poiché nella nostra funzione l'argomento del seno è

[math]x^2[/math]

, è necessario apportare la sostituzione

[math] z=x^2[/math]

Possiamo effettuare tale sostituzione in quanto, al tendere di x a zero, si ha che

[math] x = x^2[/math]

, e quindi possiamo affermare che

[math] o(z) = o(x)[/math]

Abbiamo quindi:

[math] \sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{6} + o((x^2)^3) = x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 ) [/math]

A questo punto, sviluppiamo la funzione esponenziale al terzo ordine (questo è necessario, perché altrimenti se ci fermassimo al primo o al secondo ordine, non sarebbe possibile raggiungere un sesto ordine complessivo, a causa delle proprietà algebriche dell'o-piccolo):

[math] e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + o(z^3) [/math]

In questo caso, quindi, la sostituzione da effettuare è la seguente, valida per il ragionamento effettuato in precedenza:

[math] z = x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 ) [/math]

Procediamo con i calcoli:

[math] e^{\sin(x^2)} = 1 + (x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 )) + \frac{{(x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 ))}^2}{2} + \frac{{(x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 )}^3}{6} + o((x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 ))^3) [/math]

Semplifichiamo l'espressione:

[math] e^{\sin(x^2)} = 1 + x^2 - \frac{ x^6 }{6} + o( x^6 ) + \frac{1}{2} x^4 + \frac{x^{12}}{72} - \frac{x^8}{6} + \frac{1}{6} x^6 - \frac{x^{10}}{12} + \frac{x^{14}}{12} - \frac{x^{18}}{6^4} + o( x^6 ) [/math]

Possiamo tralasciare tutti i termini che presentano potenze maggiori di 6, in quanto essi, per le proprietà dell'o-piccolo, vengono considerate all'interno di

[math]o( x^6 ) [/math]

; l'espressione diventa quindi:

[math] e^{\sin(x^2)} = 1 + x^2 - \frac{ x^6 }{6} + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{6} x^6 + o( x^6 ) = [/math]

[math] 1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + o( x^6 ) [/math]

Possiamo quindi procedere determinando lo sviluppo al settimo ordine della funzione di partenza:

[math] f(x) = x \cdot e^{\sin(x^2)} = x \cdot (1 + x^2 + \frac{1}{2} x^4 + o( x^6 )) = x + x^3 + \frac{1}{2} x^5 + o( x^7 ) [/math]

Esercizi sul polinomio di Taylor: Calcolare lo sviluppo di Taylor della seguente funzione nel punto x_0=0 fino al settimo ordine: f(x)=x*e^(sin(x^2))

Per la risoluzione dell'esercizio possiamo avvalerci degli sviluppi fondamentali delle funzioni esponenziale e seno, in quanto lo sviluppo richiesto della funzione di partenza è centrato nel punto x_0=0 .

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