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Introduzione alla terza dimensione



Le tre dimensioni conosciute sono:
- Lunghezza
- Larghezza
- Altezza o spessore
La geometria dello spazio o geometria dei solidi (si può abbreviare anche dicendo geometria solida) è il settore della geometria che si occupa dei corpi a tre dimensioni.
Gli enti fondamentali della geometria solida sono gli stessi della geometria piana (punti, linee e piani) più uno, lo spazio.
Dobbiamo ricordare che:

- per un punto passano infiniti piani
- per una retta passano infiniti piani che individuano un fascio di piani.
- si può individuare un piano con tre punti non allineati, una retta e un punto non appartenente ad essa, due rette incidenti (o perpendicolari, se sono incidenti e individuano quattro angoli retti),due rette parallele.
Una retta può:
- giacere sul piano quando tutti i suoi punti appartengono al piano
- essere parallela al piano quando nessun punto della retta appartiene al piano
- essere incidente al piano quando retta e piano si intersecano in un solo punto (una retta è perpendicolare ad un piano se è incidente al piano e se è perpendicolare ad ogni retta del piano passante per quel punto. Il punto in cui la retta interseca il piano si chiama piede.)
- Dato un piano α ed una rette ad esso perpendicolare, tutti i piani del fascio di piani della retta saranno perpendicolari al piano α.
- La distanza di un punto da un piano è proprio la lunghezza del segmento perpendicolare condotto da quel punto al piano.
- Due rette che giacciono su uno stesso piano si dicono complanari
- Se due rette non appartengono allo stesso piano si dicono sghembe.
- Due rette complanari possono essere incidenti, parallele o coincidenti. Sono incidenti quando hanno un punto in comune (possono essere perpendicolari se formano quattro angoli retti). Sono parallele se non hanno nessun punto in comune. Sono coincidenti se hanno tutti i oro punti in comune.
- Anche i piani, nello spazio, possono essere incidenti (o secanti) se hanno una retta in comune; paralleli se non hanno nessun punto in comune; coincidenti se hanno tutti i loro punti in comune.
Ora, invece, vediamo gli angoli nello spazio. Lo spazio tra due semipiani (aventi tutti origine in una retta r)è diviso in due angoli diedri, o semplicemente diedri. La retta r si chiama spigolo o costola. I due semipiani si chiamano facce del diedro. Il diedro che contiene i prolungamenti delle sue facce si chiama concavo, l'altro convesso.
La sezione normale di un diedro è l'angolo che si ottiene sezionando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. La misura dell'angolo diedro è uguale all'ampiezza della sua sezione normale. Un diedro può essere acuto, retto, ottuso se la sua sezione normale corrisponde ad un angolo acuto, retto o ottuso. Confrontando le sezioni normali di due diedri possiamo stabilire se sono congruenti oppure se uno è maggiore di un altro. Due diedri sono consecutivi quando hanno uno spigolo e una faccia in comune; sono adiacenti se sono consecutivi e le due facce non comuni sono semipiani opposti di uno stesso piano.
I diedri si distinguono in:
- complementari se la somma delle loro ampiezze è di 90°
- supplementari se la somma delle loro ampiezze è di 180°
- esplementari se la somma delle loro ampiezze è di 360°
Si dice semipiano bisettore il semipiano che uscendo dallo spigolo del diedro, divide quest'ultimo in due diedri congruenti.
Inoltre, due piani sono perpendicolari se sono secanti e se formano quattro diedri congruenti che misurano 90°.
Ora, vediamo cos'è l'angoloide. L'angoloide è la parte di spazio delimitata dalla superficie piramidale che contiene il poligono F. Il punto P (origine dell'angoloide) si dice vertice, le semirette passanti per i vertici del poligono si chiamano spigoli e gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce. Se le facce sono congruenti, l'angoloide si definisce regolare. L'angoloide può essere concavo o convesso a seconda che il poligono definito dalla sua sezione normale sia concavo o convesso. Ultima regola fondamentale: La somma degli angoli che costituiscono le facce di un angoloide è sempre minore di un angolo giro.