Introduzione alla terza dimensione - rette, piani e angoloide

In questo appunto viene proposta un'introduzione alla terza dimensione, quindi allo spazio tridimensionale e alle figure solide; verranno descritti e approfonditi diversi elementi geometrici quali le rette e la loro disposizione dello spazio, i piani e la loro disposizione nello spazio e infine l'angoloide.

Introduzione alla terza dimensione

Le tre dimensioni conosciute sono:

• Lunghezza
• Larghezza
• Altezza o spessore

La geometria dello spazio o geometria dei solidi (si può abbreviare anche dicendo geometria solida) è il settore della geometria che si occupa dei corpi a tre dimensioni.

Gli enti fondamentali della geometria solida sono gli stessi della geometria piana (punti, linee e piani) più uno, lo spazio.

Dobbiamo ricordare che:

• per un punto passano infiniti piani
• per una retta passano infiniti piani che individuano un fascio di piani.
• si può individuare un piano con tre punti non allineati, una retta e un punto non appartenente ad essa, due rette incidenti (o perpendicolari, se sono incidenti e individuano quattro angoli retti),due rette parallele.

Le rette e lo spazio

Una retta può:

• giacere sul piano quando tutti i suoi punti appartengono al piano
• essere parallela al piano quando nessun punto della retta appartiene al piano
• essere incidente al piano quando retta e piano si intersecano in un solo punto (una retta è perpendicolare ad un piano se è incidente al piano e se è perpendicolare ad ogni retta del piano passante per quel punto. Il punto in cui la retta interseca il piano si chiama piede.)
• Dato un piano α ed una retta ad esso perpendicolare, tutti i piani del fascio di piani della retta saranno perpendicolari al piano α.
• La distanza di un punto da un piano è proprio la lunghezza del segmento perpendicolare condotto da quel punto al piano.
• Due rette che giacciono su uno stesso piano si dicono complanari
• Se due rette non appartengono allo stesso piano si dicono sghembe.
• Due rette complanari possono essere incidenti, parallele o coincidenti. Sono incidenti quando hanno un punto in comune (possono essere perpendicolari se formano quattro angoli retti). Sono parallele se non hanno nessun punto in comune. Sono coincidenti se hanno tutti i loro punti in comune.
• Anche i piani, nello spazio, possono essere incidenti (o secanti) se hanno una retta in comune; paralleli se non hanno nessun punto in comune; coincidenti se hanno tutti i loro punti in comune.

Gli angoli nello spazio

Ora, invece, vediamo gli angoli nello spazio.
Lo spazio tra due semipiani (aventi tutti origine in una retta r) è diviso in due angoli diedri, o semplicemente diedri.
La retta r si chiama spigolo o costola. I due semipiani si chiamano facce del diedro. Il diedro che contiene i prolungamenti delle sue facce si chiama concavo, l'altro convesso.

La sezione normale di un diedro è l'angolo che si ottiene sezionando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo.
La misura dell'angolo diedro è uguale all'ampiezza della sua sezione normale. Un diedro può essere acuto, retto, ottuso se la sua sezione normale corrisponde ad un angolo acuto, retto o ottuso.

Confrontando le sezioni normali di due diedri possiamo stabilire se sono congruenti oppure se uno è maggiore di un altro.
Due diedri sono consecutivi quando hanno uno spigolo e una faccia in comune; sono adiacenti se sono consecutivi e le due facce non comuni sono semipiani opposti di uno stesso piano.

I diedri si distinguono in:

• complementari se la somma delle loro ampiezze è di 90°
• supplementari se la somma delle loro ampiezze è di 180°
• esplementari se la somma delle loro ampiezze è di 360°

Si dice semipiano bisettore il semipiano che uscendo dallo spigolo del diedro, divide quest'ultimo in due diedri congruenti.

Inoltre, due piani sono perpendicolari se sono secanti e se formano quattro diedri congruenti che misurano 90°.

L'angoloide

Ora, vediamo cos'è l'angoloide.
L'angoloide è la parte di spazio delimitata dalla superficie piramidale che contiene il poligono F.
Il punto P (origine dell'angoloide) si dice vertice, le semirette passanti per i vertici del poligono si chiamano spigoli e gli angoli formati da due spigoli consecutivi si chiamano facce.
Se le facce sono congruenti, l'angoloide si definisce regolare.
L'angoloide può essere concavo o convesso a seconda che il poligono definito dalla sua sezione normale sia concavo o convesso.
Ultima regola fondamentale: La somma degli angoli che costituiscono le facce di un angoloide è sempre minore di un angolo giro.

Utilizzando tutti gli elementi sopra descritti è possibile costruire nello spazio delle figure tridimensionali (oggetti analoghi alle figure bidimensionali come il cerchio, il rettangolo, il triangolo, ma che si sviluppano in tre dimensioni).
Il calcolo di alcune caratteristiche principali di tali oggetti è più complesso rispetto al caso bidimensionale, tuttavia lo studio delle figure tridimensionali è molto importante in quanto è più vicino alla realtà che ci circonda.

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni e sulle loro proprietà vedi anche qua