Risoluzione di un triangolo dato un lato e gli angoli alla base

In questo appunto viene presentata la soluzione di un problema di geometria, richiedente l'area e il perimetro di un triangolo data la misura della base e degli angoli del triangolo. Viene presentata una soluzione priva di concetti di trigonometria, e un'altra soluzione che invece richiede conoscenze di trigonometria, della funzione seno, della funzione coseno e di altri teoremi correlati alla trigonometria.

Testo del problema

Nel triangolo scaleno

i due angoli alla base misurano rispettivamente

e

.

Sapendo che il lato

misura

, calcola perimetro e area del triangolo.

Risoluzione 1 del triangolo scaleno: metodo sintetico

Prendiamo sul segmento

il punto

, tale che

sia l'altezza del triangolo relativa alla base

. Osserviamo che il triangolo

è metà di un triangolo equilatero, dal momento che l'angolo in

misura

. Similmente,

è metà di un quadrato poiché l'angolo in

misura

, ossia il medesimo angolo che "stacca" la diagonale di un quadrato. Esaminiamo prima il triangolo

:

,

(perché per quanto detto prima si ha che

è la metà di

). Applicando il Teorema di Pitagora (il quale enuncia che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti) al triangolo

si ricava

Consideriamo ora il triangolo

: abbiamo ricavato prima che

ed essendo

poiché

è la metà di un quadrato, applichiamo nuovamente il teorema di Pitagora per ricavare

. Allora otteniamo che

. Ora abbiamo dati sufficienti per il calcolo del perimetro e dell'area:

Perimetro:

Area:

, circa

Risoluzione 2 del triangolo scaleno: metodo trigonometrico

Prendiamo sul segmento

il punto

, tale che

sia l'altezza del triangolo relativa alla base

. Allora possiamo dire che

, dato che nel triangolo

,

è il cateto adiacente a tale angolo. Per ragioni analoghe, possiamo inoltre affermare che

.
Per determinare

si può fare riferimento al teorema dei seni, il quale enuncia che il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell'angolo ad esso opposto è costante.

Possiamo quindi scrivere:

, da cui si ricava che

, da ciò ricaviamo che

vale circa 58,79 cm.
In definitiva ricaviamo anche il lato

, pari a

cioè circa 65,57 cm.
Infine calcoliamo

(poiché questa volta facciamo riferimento al cateto opposto. Calcolando tale prodotto troviamo che

è lungo circa 41,57 cm.

Per approfondimenti su seno e coseno, vedi anche qua

Adesso abbiamo dati sufficienti per trovare il perimetro e l'area del triangolo

.
Perimetro:

Area:

, circa

.

Per approfondimenti sul teorema dei seni, vedi anche qua