Insiemi- Definizione

Il concetto di insieme

La prima nozione che viene presentata in un esposizione sistematica della Matematica è quella di insieme, in quanto costituisce il fondamento comune ai diversi rami del sapere matematico. In matematica si studiano diversi tipi di oggetti, ad esempio : i punti, i numeri, i segmenti, i polinomi ed ecc. Questi oggetti formano, in virtù di certe proprietà, collezioni o insiemi. La nozione di insieme viene assunta come primitiva, cioè non viene definita mediante nozioni più semplici. Gli oggetti che formano un insieme si chiamano gli elementi dell’insieme. A proposito dell’uso della parola insieme , bisogna tener presente che:

• Non ha alcuna importanza la natura degli elementi che formano un insieme, né questi elementi siano o no dello stesso tipo, e nemmeno che siano vicini nello spazio e nel tempo;
• Ogni elemento di un insieme deve essere ben distinguibile da ogni altro , quindi in un insieme uno stesso elemento non può essere ripetuto più volte. Ad esempio, in virtù di ciò,
  [math] \{2, 3, 5\} [/math]
  è un insieme, ma
  [math] \{2, 3, 3\} [/math]
  no;
• Si deve poter stabilire con certezza se un dato elemento stia, oppure no, nell’insieme considerato.

Notazione

Di seguito parleremo di come vengono indicati, in maniera simbolica, gli insiemi.
Generalmente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole: ; oppure, nel caso di insiemi particolari, con lettere maiuscole in neretto o con lettere maiuscole speciali (ad esempio l’insieme dei numeri naturali). Gli elementi di un insieme si indicano, invece, con lettere minuscole : .
Per affermare che è un insieme e è un suo elemento, si scrive :
Se non si trova in , si scrive:
I simboli citati prima si chiamano, rispettivamente, simboli di appartenenza e di non appartenenza.
Per indicare che due ( o più) elementi appartengono ad , si scrive :

Esempi

Vediamo qualche esempio sulla notazione vista precedentemente.
Consideriamo, per ora, per semplicità, l'insieme dei numeri naturali, anche noto come .
Di tale insieme fanno parte tutti i numeri interi, a condizione che essi siano maggiori o uguali a 0.
Possiamo ad esempio dire che:
In effetti questi tre elementi qui sopra sono tutti e tre numeri interi non negativi, e fanno parte dell'insieme in questione.
La stessa cosa però non si può dire per tutti i numeri. Ad esempio:
perché appunto è un numero negativo!
Tuttavia, se consideriamo invece l'insieme dei numeri interi, di cui fanno parte anche i numeri negativi, purché interi, allora possiamo dire:
ma:
L'appartenenza di un elemento ad un insieme non preclude a priori la sua non appartenenza ad un suo insieme, tuttavia.

Come abbiamo visto prima, ad esempio, si ha che , ma essendo un numero intero, allora .

Operazioni tra insiemi

Come con i numeri, anche con gli insiemi possono essere definite opportune operazioni. Le principali sono:

• intersezione;
• unione;
• differenza.

Vediamole nel dettaglio:

• Intersezione: Dati due insiemi
  [math] A, B [/math]
  l'insieme intersezione
  [math] A \cap B [/math]
  è dato da tutti gli elementi che si trovano sia in
  [math] A [/math]
  che in
  [math] B [/math]
  . In altre parole, tutti e soli gli elementi in comune.
• Unione: Dati due insiemi
  [math] A, B [/math]
  l'insieme unione
  [math] A \cup B [/math]
  è dato da tutti gli elementi che si trovano in
  [math] A [/math]
  e in
  [math] B [/math]
  , comuni e non comuni. Inoltre, è importante che essi siano presi una sola volta perché, come abbiamo visto, per definizione un elemento di un insieme può presenziare una sola volta.
• Differenza: Dati due insiemi
  [math] A, B [/math]
  l'insieme differenza
  [math] A \ B [/math]
  è dato da tutti gli elementi di
  [math] A [/math]
  che non si trovano in
  [math] B [/math]
  . Analogamente, l'insieme
  [math] B \ A [/math]
  è dato da tutti gli elementi di
  [math] B [/math]
  che non si trovano in
  [math] A [/math]
  . Come con i numeri, la differenza non è commutativa!