Insieme matematico: definizione, classificazione e operazioni

In questo appunto di matematica verrà data la definizione e classificazione di un insieme matematico.
Verrà spiegato il modo di rappresentazione di un insieme, le operazioni principali con gli insiemi e verranno definiti anche i sottoinsiemi.

Cos’è un'insieme?

L’insieme è un concetto matematico fondamentale.

Gli elementi dell’insieme vengono indicati con lettere minuscole:

Mentre, gli insiemi vengono indicati con lettere maiuscole:

Per indicare quando un elemento o insieme appartiene ad un insieme si utilizza il relativo simbolo matematico di appartenenza:

Al contrario, se un elemento o insieme non appartiene all’insieme considerato si utilizzerà sempre lo stesso simbolo ma sbarrato:

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi vedi anche qua.

Come si può rappresentare un’insieme?

Gli insiemi si possono rappresentare in tre modi principali:

• Per elencazione:
  
  [math]A = (a, b, c, d...) [/math]
• Per caratteristica:
  
  [math]A = {x | x \in \mathbb{N}, 5 \leq x \leq 20}[/math]
• Per grafica: attraverso il diagramma di Eulero - Venn

Come disegnare un insieme

La rappresentazione grafica degli insiemi matematici, come già annunciato, avviene per mezzo dei diagrammi di Eulero – Venn.
L’insieme viene rappresentato con una linea chiusa, al di fuori della quale viene indicato il nome dell’insieme con la lettera maiuscola.
Se si tratta di un insieme finito, gli elementi vengono rappresentati come punti indicandoli con i rispettivi nomi con le lettere minuscole.
Mentre, se si tratta di un insieme infinito, viene rappresentato solo la linea chiusa dell’insieme, anche perché rappresentare un’infinita di punti non è per niente semplice.

Come può essere un insieme?: Classificazione

Un insieme si può distinguere in diversi casi:

• Insieme finito: è un insieme contenente un numero preciso di elementi;
• Insieme infinito: è un insieme composto da un numero infinito di elementi;
• Insieme vuoto: è un insieme privo di elementi;
• Insiemi disgiunti: è un insieme che non contiene nessun elemento uguale;
• Insiemi equipotenti: fa riferimento alla cardinalità o potenza di un insieme, cioè al numero di elementi che compongono l'insieme.

Esempi di insiemi finiti e insiemi infiniti

Riportiamo alcuni esempi di insiemi finiti e infiniti:

• L’insieme dei numeri dispari è un insieme infinito;
• L’insieme dei punti di una retta è un insieme infinito;
• L’insieme delle lettere dell’alfabeto è un insieme finito;
• L’insieme delle città italiane è un insieme finito;

Le operazioni con gli insiemi

Si fare diverse operazioni con gli insiemi:

• L’insieme intersezione;
• L’insieme unione;
• La differenza di due insiemi.

Ora concentriamoci sull’insieme intersezione.
L'insieme intersezione è rappresentato da tutti gli elementi che hanno in comune gli insiemi considerati.

Considera i due insiemi

e

, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

Disegniamo due insiemi:

• Nella parte a sinistra inserisci gli elementi che appartengono solo ad
  [math]A[/math]
  ;
• Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad
  [math]A[/math]
  che a
  [math]B[/math]
  ;
• Nella parte a destra inserisci gli elementi che appartengono solo a
  [math]B[/math]
  .

L’insieme intersezione è rappresentato dalla parte centrale, cioè la parte che contiene solo gli elementi in comune.

Ora studiamo l’insieme unione.
L'insieme unione è rappresentato da tutti gli elementi degli insiemi considerati.
Ciascun elemento non può essere ripetuto.
Considera i due insiemi

e

, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

Disegniamo due insiemi:

• Nella parte a sinistra inserisci gli elementi che appartengono solo ad
  [math]A[/math]
  ;
• Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad
  [math]A[/math]
  che a
  [math]B[/math]
  ;
• Nella parte a destra inserisci gli elementi che appartengono solo a
  [math]B[/math]
  .

La somma di tutte e tre le parti, sinistra, centrale e destra rappresenta l’insieme unione.

Ora studiamo la differenza fra due insiemi.
La differenza di due insiemi è un insieme formato da tutti gli elementi del primo insieme esclusi quelli che ha in comune con il secondo insieme.
Considera i due insiemi

e

, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

Disegniamo due insiemi:

• Nella parte a sinistra inserisci gli elementi che appartengono solo ad
  [math]A[/math]
  ;
• Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad
  [math]A[/math]
  che a
  [math]B[/math]
  ;
• Nella parte a destra inserisci gli elementi che appartengono solo a
  [math]B[/math]
  .

La differenza tra due insieme è la classica operazione matematica, quindi al primo insieme possiamo sottrarre il secondo, o viceversa.

Cosa sono i sottoinsiemi?

Si parla di sottoinsieme quando gli elementi di un insieme sono interamente contenuti in un altro insieme.
Si possono avere:

• Sottoinsiemi propri: si parla di sottoinsieme proprio quando gli elementi di un insieme
  [math]A[/math]
  sono interamente contenuti in un altro insieme
  [math]B[/math]
  , ma esiste almeno un elemento di
  [math]B[/math]
  che non è anche elemento di
  [math]A[/math]
  .
• Sottoinsieme impropri: esistono due situazioni nelle quali si usa impropriamente il termine sottoinsieme: quando i due insiemi contengono gli stessi elementi, cioè quando ogni insieme ha come sottoinsieme sé stesso, oppure quando uno dei due insiemi è vuoto, cioè l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.