Geometria solida: nozioni basilari e formule

In questo appunto di geometria si parla di geometria solida. Innanzitutto si parte dalla definizione di solido, elencando anche le sue proprietà. In seguito si farà la classificazione dei vari solidi e verranno spiegate tutte le varie categorie principali. Nei solidi più importanti verranno riportate anche le formule.

Che cos’è la geometria solida?

La geometria solida è una branca della geometria che si occupa di studiare i solidi, cioè gli oggetti per la quale è possibile definire tre dimensioni: la larghezza, la profondità e l’altezza.
Per i solidi è possibile definire le seguenti proprietà e parti:

• Volume: misura lo spazio occupato dal solido;
• Area: misura la frontiera del solido;
• Faccia: delimita il solido;
• Vertice: punto in cui convergono almeno tre facce;
• Spigolo: uno qualsiasi dei lati di una faccia;
• Angolo diedro: porzione di spazio compresa tra due facce aventi uno spigolo in comune;
• Angolo solido: porzione di spazio delimitata dalle infinite semirette uscenti da uno stesso vertice e passanti per i punti di una curva chiusa tracciata su una curva che contiene il vertice;
• Angoloide : regione di spazio delimitata da tre o più facce che convertono nello stesso vertice.

Tipologie di solidi geometrici

I solidi geometrici si possono suddividere in:

• Poliedri : solidi che hanno come facce poligono che sono posizionati su piani diversi;
• Solidi di rotazione : solidi che presentano almeno una superficie curva e che vengono generati a partire dalla rotazione di una figura piana;
• Solidi irregolari : tutti i solidi che non rientrano nelle due precedenti teorie.
  Un solido irregolare è definito come un oggetto solido tridimensionale che non ha una forma normale, come tutti gli altri solidi che verranno spiegati in seguito.
  I solidi irregolari hanno molti lati di lunghezze diverse.

Poliedri: definizione e classificazione

Un poliedro è una figura solida delimitata da un numero finito di poligono appartenenti a piani diversi, tali che ogni piano non intersechi il solido.
I poliedri si possono suddividere principalmente in:

• Prisma : esso possiede due poligoni paralleli e uguali e presentano come facce laterali dei parallelogrammi.
  Essi si possono suddividere in prismi definiti e retti.
  Un prima definito è un poliedro caratterizzato da una parte di prisma indefinito limitato da due paini paralleli che lo intersecano.
  Un prima retto è un prisma che ha gli spigoli perpendicolari alla base.
  Un esempio di prisma è il parallelepipedo.
  Consideriamo un rettangolo ed estendiamolo nella terza dimensione, così facendo otteniamo il parallelepipedo.
  Il parallelepipedo è caratterizzato da una base rettangolare e da lati verticali che sono perpendicolari alla base.
  Il volume può essere calcolato attraverso la seguente formula:
  
  [math]V = A_b \cdot c = a \cdot b \cdot c[/math]

  Dove

  [math]V[/math]
  è il volume del solido,
  [math]A_b[/math]
  è l’area di base del parallelepipedo,
  [math]c [/math]
  è l’altezza del parallelepipedo mentre
  [math]a [/math]
  e
  [math]b[/math]
  sono i lati del rettangolo di base.
  Il volume del parallelepipedo può quindi essere calcolato moltiplicando l’area di base del parallelepipedo per l’altezza del solido.
  Il cubo è un caso particolare di parallelepipedo nel quale la figura di base è un quadrato e nel quale l’altezza è equivalente al lato del quadrato di base.
  Il cubo è quindi un solido composto da 6 facce di forma quadrata, da 8 vertici da 12 spigoli.
  Per calcolare il volume di un cubo si fa riferimento alla seguente formula:
  
  [math]V=l^3[/math]
  Dove
  [math]l [/math]
  è il lato del cubo.
  
• Piramide: essa ha un poligono di base e un vertice che non appartiene al piano della base e presenta come facce laterali dei triangoli.
  Il volume di una piramide può essere calcolato attraverso la seguente formula:
  
  [math]V= \frac{1}{3} A_b \cdot h[/math]
  Dove l’altezza
  [math]h[/math]
  è il segmento che ha come estremo il vertice della piramide e che cade perpendicolarmente alla base.
• Tronco di piramide: è un poliedro che si ottiene tagliando una piramide con un piano parallelo alla base.

Per ulteriori approfondimenti sui poliedri vedi anche qua

Solidi di rotazione: definizione e classificazione

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Essi vengono chiamati in questo modo perché si possono ottenere:

• Ruotando una figura piana attorno a un suo lato o a una retta;
• Ruotando una linea, retta o curva, attorno a un’altra retta.

I solidi di rotazione si possono suddividere principalmente in:

• Cilindro: è un solido generato dalla rotazione di un rettangolo attorno ad un proprio lato, si ottiene quindi un solido tridimensionale costituito da una base circolare e da una superficie laterale disposta in modo ortogonale alla base;
• Cono: è un solido di rotazione generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei due cateti, si ottiene quindi un solido a base circolare;
• Tronco di cono: è la rotazione di un trapezio rettangolo attorno all’altezza;
• Sfera: è la rotazione di un semicerchio attorno al diametro.

Per ulteriori approfondimenti sui solidi di rotazione vedi anche qua