Secondo principio della termodinamica e macchine termiche

In questo appunto di Fisica si tratta il Secondo Principio della Termodinamica, esponendo i suoi due enunciati e dimostrando l’equivalenza fra gli stessi. Inoltre si introducono alcuni concetti come quello di macchina termica e rendimento, fondamentali per la comprensione del principio stesso.

Trasformazioni reversibili ed irreversibili

Le trasformazioni termodinamiche vengono classificate in base a quale parametro di stato si mantiene costante (temperatura, volume, pressione), in base agli scambi di calore (adiabatica) ed in base alla lo reversibilità o meno.
Quest’ultimo aspetto è molto importante nello studio delle macchine termiche e nella creazione di modelli per la loro realizzazione.
In Termodinamica si definisce reversibile una trasformazione costituita da una successione di infiniti stati di equilibrio, dove ogni stato (definito dai rispettivi parametri temperatura, volume, pressione) differisce dal precedente o dal seguente di valori infinitesimi dei parametri di stato.
Ossia, supponiamo di avere un sistema termodinamico che passa dallo stato A allo stato B, tramite una qualunque trasformazione (isoterma, isobara, isocora, adiabatica).

Supponiamo di suddividere tale trasformazione in una quantità infinita di stati tali che se prendiamo singolarmente ognuno di questi, si nota che differisce dallo stato precedente della trasformazione o da quello seguente della, di una quantità infinitesima: i parametri di stato del sistema termodinamico nello stato A differiscono di quantità infinitesime (quindi sono quasi uguali) da quelli nello stato A + dx oppure A – dx.
La caratteristica principale di queste trasformazioni è che possono essere percorse in entrambi i versi e riportate sempre nelle condizioni iniziali senza lasciare alcuna traccia. Tale caratteristica, non realizzabile nella realtà per ovvi motivi, fa si che costituiscano un modello ideale di studio cui fare riferimento.
Tutte le trasformazioni che non rientrano nella definizione di reversibile, sono chiamate trasformazioni irreversibili. Sono tutte quelle trasformazioni reali secondo cui una volta avvenuta una modifica in un sistema, causata da una trasformazione, il sistema non può essere riportato nello stato iniziale (condizioni iniziali) senza cambiamenti a livello fisico.

Sorgenti di calore ideali

In termodinamica si chiama sorgente ideale di calore un sistema naturale generalmente esteso (mare, lago, ecc) oppure fisico (realizzato dall’uomo) capace di mantenere una temperatura fissata costante qualunque sia la quantità di calore che esso cede o acquista.
Un simile dispositivo non esiste in pratica, ma è possibile costruire con buona approssimazione delle sorgenti di calore ideali. Per esempio, una miscela di acqua e ghiaccio a 0°C approssima piuttosto bene una sorgente ideale: se tale sistema fisico riceve calore dall’esterno parte di ghiaccio fonde; se invece esso cede calore, parte dell’acqua si solidifica e la temperatura rimane costante a 0°C.
Ovviamente tale approssimazione rimane buona fino al momento in cui la quantità di calore scambiata con l’ambiente non è tale da far sciogliere tutto il ghiaccio o far solidificare tutta l’acqua.
Entro questi limiti l’approssimazione è molto buona, oltrepassati questi la temperatura inizia a variare.

Macchina termica

Una macchina termica è un dispositivo che sfrutta il calore per ottenere lavoro.
Al fine di ottenere lavoro, una macchina termica scambia calore con un dato numero di termostati o sorgenti.
Tali dispositivi si classificano in base al tipo di trasformazione che usano per ottenere il lavoro, quindi possiamo avere:

• macchine cicliche
• macchine reversibili
• macchine irreversibili

Una macchina si dice ciclica quando opera secondo trasformazioni cicliche, ossia trasformazioni che tornano sempre nello stato iniziale.
Diremo che una macchina è reversibile, quando sono reversibili tutte le trasformazioni che trasformano il calore in lavoro. Si ricorda che dato un sistema termodinamico, una trasformazione che lo porta dallo stato A allo stato B si dice reversibile, se può essere ripercorsa dallo stato B allo stato A, attraverso gli stessi passaggi percorsi da A a B, e se riporta il sistema termodinamico nelle esatte condizioni di partenza.
Tutte le trasformazioni che non sono reversibili, rientrano nella categoria di quelle irreversibili.
Le macchine termiche che saranno utilizzate per affrontare lo studio del Secondo Principio della Termodinamica sono tutte cicliche e reversibili, affinché possano funzionare a tempo indefinito.
Descriviamo il funzionamento di una tipica macchina termica.
Consideriamo un cilindro la cui superficie laterale è perfettamente isolante, mentre la sua base è termicamente conduttrice. Tale cilindro è munito nella parte superiore di un pistone scorrevole senza attrito, anch’esso perfettamente isolante. Supponiamo che all’interno di tale cilindro vi sia un gas perfetto.
Si abbiano anche due sorgenti a temperature diverse,

e

, rispettivamente, con

, ossia tramite quattro processi, uno per ogni trasformazione reversibile (due trasformazioni isoterme e due adiabatiche), ed al termine del quarto la macchina si troverà nuovamente nelle condizioni iniziali.
Fase 1 Trasformazione dallo stato A allo stato B (isoterma)
Il cilindro ha la base in contatto con la sorgente a temperatura

.
Il pistone è abbassato; il gas si trova nello stato A ed ha i seguenti parametri di stato:

Dove

è la temperatura della sorgente posta alla base del cilindro (inizialmente indicata con

)
Mantenendo costante la temperatura (trasformazione isoterma), il pistone si alza ed il gas si dilata raggiungendo lo stato B, dove i suoi parametri di stato sono:

Durante tale trasformazione isoterma il gas ha assorbito la quantità di calore

(quantità positiva) dalla sorgente a temperatura

(chiamata anche sorgente calda)
Fase 2 Trasformazione dallo stato B allo stato C (adiabatica)
La sorgente di calore alla base del cilindro viene tolta e tale superficie viene isolata termicamente. In tali condizioni il gas si espande senza assorbire o cedere calore. Il lavoro effettuato per tale espansione (a spese dell’energia interna del gas) fa si che la temperatura scenda ad un valore più basso.
I parametri di stato del gas sono i seguenti:

In questa trasformazione adiabatica non si ha trasmissione di calore

Da questa fase si fa tornare il sistema termodinamico delle condizioni iniziali.
Il cilindro viene posto in contatto con la sorgente a temperatura

Tramite il pistone si comprime il gas, mantenendo costante la temperatura, fino al raggiungimento dello stato D. Punto in cui le condizioni dell’isoterma seguita coincidono con quelle dell’adiabatica per il punto iniziale A.
I parametri di stato in questo punto sono i seguenti:

Il calore scambiato in questa fase

è negativo, poiché il sistema termodinamico lo cede alla sorgente a temperatura

(chiamata anche sorgente fredda).
Fase 4 Trasformazione dallo stato D allo stato A (adiabatica)
Il cilindro viene nuovamente isolato termicamente e tramite il pistone si comprime ulteriormente il gas fino a riportarlo nelle sue condizioni iniziali, ossia fino ad ottenere i parametri di stato iniziali.
Il calore scambiato in questa trasformazione è nullo

.
Quello sopra descritto è un tipico ciclo che caratterizza una semplice macchina termodinamica, effettuato in condizioni ideali.
Il lavoro L che tale macchina fornisce si trova tramite il Primo Principio della Termodinamica:

Tale valore coincide con la quantità di calore complessivamente assorbita: ossia la somma algebrica fra il calore scambiato con la sorgente calda (assorbito e quindi positivo) e quello con la sorgente fredda (ceduto e quindi negativo). Questo significa che non tutto il calore fornito si trasforma in lavoro, ma parte viene ceduto ad un’altra sorgente.
Il lavoro utile (lavoro positivo) è quello che si ha durante l’espansione del gas e quindi l’innalzamento del pistone, che per esempio potrebbe trasmettere una coppia ad un albero motore che tramite organi di trasmissione fa muovere le ruote di un veicolo.
La macchina a vapore funziona sulla base di questo principio:
L’acqua contenuta in un serbatoio si trasforma in vapore grazie al calore della sorgente calda.
Il vapore sotto pressione spinge pistoni che, a loro volta, comunicano il movimento alle ruote.
Il vapore ritorna liquido in un condensatore raffreddato dalla sorgente fredda; così il ciclo si chiude e può ricominciare.
Lo stesso schema di funzionamento è utilizzato ancora oggi. In una centrale termoelettrica, nella quale vengono bruciati petrolio o metano, il vapore fa girare le pale di una turbina, cui è collegato un alternatore che produce energia elettrica.
Quindi anche la centrale termoelettrica funziona sui principi di una macchina termica, che lavora da una sorgente calda, che sarebbe la caldaia è una sorgente fredda che sarebbe condensatore.
Queste centrali si trovano molto spesso vicine ai fiumi o al mare, proprio perché servono enormi quantità di acqua fredda per raffreddare i vari vapori caldi. Ovviamente una parte del calore assorbito dalla caldaia non si trasforma in energia elettrica, ma viene dissipato nell’ambiente come calore di scarto, questo calore aumentare la temperatura delle acque e dei fiumi che è causa di inquinamento termico.

Rendimento

Nella descrizione del funzionamento della macchina termica abbiamo visto che questa opera fra due sorgenti di calore: riceve calore dalla sorgente calda (a temperatura maggiore), produce lavoro e per tornare nello stato iniziale (ossia chiudere il ciclo) cede calore ad una sorgente a temperatura minore della prima (sorgente fredda).
La quantità di lavoro ottenuta in relazione al calore fornito dalla sorgente calda indica il rendimento della stessa.
Più precisamente definiremo rendimento o fattore di conversione di una qualunque macchina termica il rapporto tra il lavoro utile ed il calore (o energia termica) fornita dalla sorgente calda:

dove

L = lavoro utile

= calore assorbito dalla sorgente calda (a temperatura

)

= calore ceduto alla sorgente fredda (a temperatura

)

Quindi l’espressione del rendimento può essere scritta come:

da cui si può vedere che il valore del rendimento, η, è massimo se il calore ceduto alla sorgente fredda è nullo, ossia tutto il calore acquisito dalla sorgente calda viene trasformato in calore.
Se

allora
η =1
Se il calore ceduto alla sorgente fredda è uguale a quello assorbito dalla sorgente calda, allora il rendimento è nullo, ossia se

allora
η = 1 – 1 = 0
che corrisponde al valore minimo.
In quest’ultimo caso la macchina non compie lavoro.
Si conclude che il rendimento varia fra zero e uno:
0 ≤ η ≤ 1
Il rendimento è una grandezza fondamentale per quantificare il buon funzionamento di una macchina ed il lavoro che può fornire. Inoltre consente di confrontare più macchine diverse che lavorano fra le stesse sorgenti.

Il Secondo Principio della Termodinamica

In base al Primo Principio della Termodinamica si impone un vincolo tra lavoro, L, e calore, Q, in una trasformazione termodinamica, ossia:
ΔU = Q – L
tale relazione stabilisce la conservazione dell’energia.
Se, in casi particolari, non si ha variazione dell’energia interna, ΔU = 0
si ottiene che
L = Q
ed, in base a tale relazione, tutto il lavoro di una trasformazione può essere trasformato in calore e viceversa.
L’esperienza ci insegna che tale relazione non vale in natura, poiché non è possibile convertire integralmente in lavoro, tutto il calore fornito ad una macchina (causa dispersioni termiche ed altro).
Il Secondo Principio della Termodinamica ci fornisce le limitazioni che si hanno in natura quando si realizza una macchina termica che deve trasformare in lavoro il calore fornito da una sorgente.
Si hanno due enunciati equivalenti.
Enunciato di Clausuis
“E’ impossibile realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia quello di far passare calore da un corpo a temperatura inferiore ad un corpo a temperatura superiore.”
Per ottenere tale risultato si deve intervenire con un lavoro esterno, perché l’esperienza ci insegna che in natura è valido il passaggio di calore da un corpo a temperatura maggiore ad uno a temperatura minore, per invertire questo procedimento è necessaria una macchina che fornisce lavoro.
Enunciato di Kelvin-Planck
“E’ impossibile realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia quello di assorbire calore da una sola sorgente e di trasformarlo integralmente in lavoro”.
In base alla studio della macchina termica che abbiamo affrontato sopra, abbiamo visto che questa produce lavoro acquistando calore da una sorgente calda e per tornare alla condizioni iniziali ne cede una parte alla sorgente fredda, quindi non trasforma tutto il calore assorbito il lavoro. Se non fosse valido l’enunciato di Kelvin-Planck esisterebbe una macchina termica che assorbe lavoro da una sorgente calda; produce lavoro e torna nelle condizioni iniziali senza cedere calore (poiché l’ha trasformato tutto in lavoro) per ricominciare il ciclo. Quest’ultima sarebbe una macchina in moto perpetuo che non esiste nella realtà.
Questi due enunciati che sembrano molto diversi, in realtà sono equivalenti e questo può essere dimostrato semplicemente.
Supponiamo non valga l’enunciato di Clausius, di conseguenza non può valere quello di Kelvin_Planck.
Si abbia una macchina termica che assorbe calore Q_c dalla sorgente calda e cede

alla sorgente fredda dove

Poiché non vale l’enunciato di Clausius si può trasportare Q_f alla sorgente calda, in questo modo la sorgente fredda non farebbe parte del procedimento perché tanto calore cede, quanto calore riceve indietro. Quindi saremmo riusciti a realizzare una macchina termica che trasforma in lavoro tutto il calore ricevuto, contrariamente a quanto si afferma l’enunciato di Kelvin_Planck.
Supponiamo non valga l’enunciato di Kelvin-Planck, di conseguenza non può valere quello di Clausius.
In tale ipotesi si può realizzare una macchina termica che trasforma completamente in lavoro il calore sottratto alla sorgente fredda e potremmo cedere il lavoro alla sorgente calda sotto forma di calore, ottenendo questo come unico risultato, andando contro a quanto afferma l’enunciato di Clausius.
Per cui abbiamo dimostrato la perfetta equivalenza dei due enunciati e come cada la validità di uno se cade la validità dell’altro.

Per ulteriori approfondimenti su questo argomento vedi anche qua