SECONDO ESERCIZIO SUL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi eseguiremo un esercizio sul secondo principio della termodinamica, ed in particolare ci occuperemo di risolvere un problema riguardante tre punti: isocorica, isotermica e isobarica. Il testo del problema è il seguente:

Calcolare in funzione dei calori specifici

[math]c_{ρ}[/math]
e
[math]c_{V}[/math]
, del numero di moli
[math]η[/math]
e dei parametri caratteristici dello stato iniziale
[math]A[/math]
e dello stato finale
[math]B[/math]
, la variazione di entropia di un gas perfetto sottoposto alle seguenti trasformazioni reversibili: isocorica, isotermica, isobarica.


Per una trasformazione reversibile, la variazione di entropia:


[math]ΔS=S(B)-S(A)= \int_{A}^{B} \frac{δQ}{T}[/math]


Bisogna per tanto valutare la quantità di calore

[math]δQ[/math]
e, per farlo, utilizziamo il primo principio della termodinamica che ci fornisce per
[math]δQ[/math]
la relazione:


[math]δQ=ρφV+η\ c_{V}\ φT[/math]


Analizziamo adesso, una per una, le tre trasformazioni elencate nell'esercizio e cominciamo con la trasformazione isocorica. Per essa, come sappiamo, non varia il volume; pertanto il contributo alla quantità di calore

[math]ρφV[/math]
è nullo e la variazione di entropia
[math]ΔS[/math]
sarà dato da:


[math]ΔS=η \int_{A}^{B} c_{V}\ \frac{φT}{T}= η\ c_{V}\ ln \frac{T_{B}}{T_{A}}[/math]


Avendo ipotizzato che

[math]c_{V}[/math]
è costante nell'intervallo di temperatura
[math]T_{A}[/math]
, quindi
[math]T_{A}÷T_{B}[/math]
.

Passiamo adesso ad analizzare la trasformazione isotermica. In questo caso, alla quantità di calore

[math]δQ[/math]
, non contribuisce il termine
[math]η\ c_{V}\ φT[/math]
perché
[math]φT=0[/math]
, la trasformazione isotermica avviene infatti a temperatura costante:


[math]δQ=ρφV=ηRT \frac{φV}{V}\ =>\ ΔS=ηR \int_{A}^{B} \frac{φV}{V}=\\
\\
=\ ηR\ ln \frac{V_{B}}{V_{A}}=ηR\ ln \frac{ρ_{A}}{ρ_{B}}[/math]


Avendo utilizzato la legge di Boyle, cioè la legge che ci dice:


[math]ρV=cost\ =>\ ρ_{A}V_{A}=ρ_{B}V_{B}[/math]


Concludiamo, ora, analizzando la trasformazione isobarica. Per essa, il primo principio della termodinamica, ci fornisce due contribuiti e la terza

[math]S[/math]
sarà scritta come:


[math]ΔS= \int_{A}^{B} ρφV+ηc_{υ} \int_{A}^{B} \frac{φT}{T}=ηR \int_{A}^{B} \frac{φV}{V}+ηc_{υ} \int_{A}^{B} \frac{φT}{T}=\\
\\
=\ ηR\ ln \frac{V_{B}}{V_{A}}+ηc_{υ}\ ln \frac{T_{B}}{T_{A}}[/math]


Essendo:



Allora:


[math]ηR\ ln \frac{V_{B}}{V_{A}}+ηc_{υ}\ ln \frac{T_{B}}{T_{A}}=(ηR+ηc_{υ})ln \frac{V_{B}}{V_{A}}=\\
\\
=\ ηc_{ρ}\ ln\ \frac{V_{B}}{V_{A}}=\ ηc_{ρ}\ ln \frac{T_{B}}{T_{A}}[/math]

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