Problema di fisica con i vettori

In questo appunto viene risolto un problema sull’utilizzo dei vettori che prevede la rappresentazione dei vettori in un sistema di riferimento, il calcolo del modulo di un vettore, in particolare il calcolo della lunghezza del vettore spostamento e il calcolo del percorso effettuato dalla punta del vettore.

Testo del problema

La lancetta delle ore di un orologio analogico è lunga

, e si sposta fra le

e le

.

Scegli un sistema di riferimento cartesiano con l'origine nel centro dell'orologio, l'asse

diretto verso le

e l'asse

diretto verso le

.

• Rappresenta la lancetta con un vettore e disegna il vettore spostamento della sua estremità;
• calcola l'intensità del vettore spostamento della lancetta;
• quanto vale la lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta?

Svolgimento (1)

Possiamo rappresentare la situazione descritta dal problema in questo modo:

Il disegno rappresenta un piano cartesiano composto dagli assi x (asse orizzontale o asse delle ascisse) e asse y (asse verticale o asse delle ordinate) disposti in modo perpendicolare; il piano cartesiano ha come origine degli assi il centro dell’orologio, tale punto viene chiamato O’ e corrisponde al centro del sistema di riferimento considerato.

Ripasso sui vettori

Tracciamo una circonferenza di raggio pari alla lunghezza delle lancette, perciò di raggio pari a 1cm.
All’intersezione della circonferenza con gli assi cartesiani si individuano i punti corrispondenti alle ore 12 (punto in alto, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte positiva dell’asse delle y), alle ore 3 (punto a sinistra, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte positiva dell’asse delle x), alle ore 6 (punto in basso, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte negativa dell’asse delle y) e alle 9 (punto a sinistra, corrispondente all’intersezione della circonferenza con la parte negativa dell’asse delle x).

In fisica esistono due principali tipi di grandezze:

• vettori
• scalari

Uno scalare è una grandezza caratterizzata unicamente da un numero; a volte in fisica è importante specificare ad esempio la direzione relativa a tale numero, a tal proposito vengono quindi introdotti i vettori.
Ricordiamo che un vettore è una grandezza fisica rappresentata da una freccia e caratterizzata da: il modulo (lunghezza della freccia), la direzione (disposizione della freccia dello spazio) e dal verso (direzione in cui punta la punta della freccia).
Per descrivere in modo univoco e completo un vettore è quindi necessario specificare il suo modulo, la sua direzione e il suo verso.
I vettori in genere vengono utilizzati per descrivere degli spostamenti o delle forze.

Rappresentiamo ora i vettori che corrispondono alla posizione della lancetta alle ore 3 (vettore che ha origine nel centro del sistema di riferimento e che termina sulla circonferenza, chiamiamo questo punto con la lettera A); tale vettore può essere chiamato

Il vettore che corrisponde alla posizione della lancetta alle ore 5 è invece inclinato ed è contenuto nel quarto quadrante, se chiamiamo il punto in cui tale vettore interseca la circonferenza con la lettera B, tale vettore può essere chiamato

Il vettore spostamento corrisponde al vettore che unisce le punte dei due vettori, tale vettore corrisponde a

Per ulteriori approfondimenti sui vettori e sulle loro proprietà vedi anche qua

Svolgimento (2)

Abbiamo rappresentato il vettore spostamento in blu, che rappresenta lo spostamento dell'estremità della lancetta dell'orologio dalle ore

alle

.

Sappiamo che il quarto quadrante del piano cartesiano contiene le ore

e le ore

, quindi può essere suddiviso in tre settori circolari:

Poiché la lancetta arriva fino alle ore

, percorre i

del quarto quadrante. Ogni quadrante è

di circonferenza, di conseguenza ha un angolo di

.

Troviamo quindi, impostando una proporzione, l'ampiezza dell'angolo

:

Dal momento che i segmenti

e

sono uguali, e valgono

, poiché sono i raggi della circonferenza, possiamo affermare che il triangolo

è equilatero.

Di conseguenza, anche il lato

, che corrisponde al vettore spostamento

, misura

.

Svolgimento (3)

Possiamo impostare una proporzione per calcolare la lunghezza del cammino percorso dall'estremità della lancetta.

Calcoliamo prima la lunghezza della circonferenza:

Dividendo questo valore per il numero dei quadranti, otteniamo la lunghezza dell'arco di ciascun quadrante:

Impostiamo la proporzione:

Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni e sul metodo da utilizzare per risolvere vedi anche qua