Meccanica: Un vigile urbano viaggia in moto alla velocità di  36 (km)/h , e viene superato da un’automobile alla velocità di  72 km/h . Il vigile accelera al massimo per raggiungerlo ma nello stesso istante ....

Studio dei moti reciproci di punti materiali in accelerazione: applicazione delle leggi orarie del moto uniformemente accelerato

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • Il vigile urbano e l'automobile partono da velocità diverse, rispettivamente 10 m/s e 20 m/s, convertite da km/h.
  • Le accelerazioni sono calcolate usando la seconda legge della dinamica: il vigile accelera a 20 N/kg e l'automobile a 13,3 N/kg.
  • Per determinare quando il vigile raggiunge l'automobile, si utilizzano le equazioni del moto uniformemente accelerato per calcolare gli spazi percorsi.
  • Le equazioni degli spazi percorsi dal vigile e dall'automobile vengono uguagliate per trovare il tempo necessario.
  • Il tempo calcolato affinché il vigile raggiunga l'automobile è di 2,98 secondi.

Un vigile urbano viaggia in moto alla velocit di

[math]36 (km)/h[/math]
, e viene superato da unautomobile alla velocit di
[math]72 (km)/h[/math]
. Il vigile accelera al massimo per raggiungerlo ma nello stesso istante anche lautomobilista accelera per fuggire.

La massa del vigile e della moto di

[math]300 kg[/math]
e la forza massima del suo motore
[math]6.0 kN[/math]
. La massa del guidatore e dellautomobile
[math]900 kg[/math]
e la forza massima del suo motore
[math]12 kN[/math]
.

  • Dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore?

Svolgimento

Prima di tutto, trasformiamo le velocit in m/s, perch ci saranno pi comode in seguito:

[math] 36 (km)/h = frac(36)(3,6) = 10 m/s [/math]

[math] 72 (km)/h = frac(72)(3,6) = 20 m/s [/math]

Ora calcoliamo con quale accelerazione i guidatori avanzano quando accelerano, usando la formula della seconda legge della dinamica:

[math] F = m \cdot a o a = F/m [/math]

[math] a_v = frac(F_v)(m_v) = frac(6,0 kN)(300 kg) = frac(6000 N)(300 kg) = 20 N/(kg) [/math]

[math] a_a = frac(F_a)(m_a) = frac(12 kN)(900 kg) = frac(12000 N)(900 kg) = 13,3 N/(kg) [/math]

A questo punto, dobbiamo calcolare dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore; questo accadr quando entrambi avranno percorso lo stesso spazio.

Quindi troviamo lo spazio di entrambi con la formula del moto uniformemente accelerato (

[math]s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 [/math]
), poi li uguagliamo creando cos unequazione, che risolvendo, ci permetter di trovare il tempo impiegato.

[math]s_v = v_0 t + 1/2 at^2 = 10 t + 1/2 \cdot 20 \cdot t^2 = 10 t + 10 t^2[/math]

[math]s_a = v_0 t + 1/2 at^2 = 20 t + 1/2 \cdot 13,3 \cdot t^2 = 20 t + 6,65 t^2[/math]

Poniamo

[math] s_a = s_v [/math]

[math] 10 t + 10 t^2 = 20 t + 6,65 t^2[/math]

Risolviamo e troviamo il tempo:

[math] 10 t + 10 t^2 - 20 t - 6,65 t^2 = 0[/math]

[math] 3,35 t^2 - 10 t = 0 [/math]

Con la legge di annullamento del prodotto si ottiene:

[math] t = 0 ? t = frac(10)(3,35) = 2,98 s [/math]

Escludiamo il risultato nullo e consideriamo

[math]t = 2,98 s[/math]
.

Domande da interrogazione

  1. Qual è la velocità iniziale del vigile urbano e dell'automobile in m/s?

    2. La velocità iniziale del vigile urbano è di 10 m/s, mentre quella dell'automobile è di 20 m/s.

  2. Quali sono le accelerazioni del vigile urbano e dell'automobile?

    3. L'accelerazione del vigile urbano è di 20 N/kg, mentre quella dell'automobile è di 13,3 N/kg.

  3. Dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere l'automobile?

    4. Il vigile riesce a raggiungere l'automobile dopo 2,98 secondi.

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