Un elicottero sta scaldando il motore, e le pale, ciascuna di 5.70 m di lunghezza, ruotano a una velocità angolare di 6.28 (rad)/s . Un'ape è appoggiata su una delle pale a 3.00 m dal rotore...

Calcolare accelerazione centripeta e velocità di un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme;

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Concetti Chiave

  • L'accelerazione centripeta dell'ape si calcola con la formula a_c = \omega^2 \cdot r, usando i dati \omega = 6.28 \text{ rad/s} e r = 3.00 \text{ m}.
  • La velocità dell'ape a 3.00 m dal rotore è calcolata come v = 18.84 \text{ m/s} utilizzando il periodo T = 1 \text{ s}.
  • Alla posizione iniziale, l'accelerazione centripeta risulta essere 118.31 \text{ m/s}^2, confermando i calcoli alternativi con la formula a_c = \omega^2 \cdot r.
  • Quando l'ape si sposta all'estremità della pala (5.70 m), la velocità con cui viene proiettata è 35.79 \text{ m/s}.
  • Il periodo di rotazione dell'elicottero è calcolato come 1 \text{ s} dalla relazione inversa della velocità angolare T = \frac{2\pi}{\omega}.
Un elicottero sta scaldando il motore, e le pale, ciascuna di
[math]5.70 m[/math]
di lunghezza, ruotano a una velocità angolare di
[math]6.28 \frac{rad}{s}[/math]
. Un’ape è appoggiata su una delle pale a
[math]3.00 m[/math]
dal rotore.
  • Qual è l’accelerazione centripeta dell’ape?
  • L’ape si sposta fino all’ estremità della pala e scivola. Con quale velocità viene proiettata lontano?

Svolgimento (1)

L’accelerazione centripeta si ottiene dalla formula
[math] a_c = \frac{v^2}{r} [/math]
.

Per prima cosa quindi cerchiamo di determinare la velocità.

La velocità si ottiene dalla formula

[math] v = \frac{2\pi r}{T} [/math]
; sappiamo che il raggio è
[math]3.00 m[/math]
, poiché questa è la distanza che separa l’ape dal rotore.

La velocità angolare è data dalla formula

[math] \omega = \frac{∆ \alpha}{∆t} [/math]
.

Noi non conosciamo il valore di

[math]∆ \alpha[/math]
, cioè l’angolo al centro, per questo prendiamo in considerazione l’angolo giro, di
[math]360°[/math]
.

Poiché l’angolo al centro si ricava dalla formula

[math] ∆ \alpha = \frac{l}{r} [/math]
, cioè la lunghezza dell’arco fratto il raggio, la lunghezza dell’arco sarà la lunghezza della circonferenza.

Quindi:

[math] ∆ \alpha = \frac{l}{r} = \frac{C}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi [/math]

Possiamo considerare l’intervallo di tempo

[math]∆t[/math]
come il periodo
[math]T[/math]
. In questo modo, la formula della velocità angolare diventa:
[math] \omega = \frac{∆ \alpha}{∆t} \to \omega = \frac{2\pi}{T} [/math]

Quindi, per ricavare il periodo usiamo la formula inversa:

[math] T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \cdot 3,14}{6,28 \frac{rad}{s}} = 1 s [/math]

[math] v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 3 m}{1 s} = 18,84 \frac{m}{s} [/math]

[math] a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(18,84 \frac{m}{s})^2}{3 m} = 118,31 \frac{m}{s^2} [/math]

In alternativa, possiamo ricorrere alla formula

[math] a_c = \omega^2 \cdot r [/math]
. In questo caso, avendo tutti i dati, possiamo velocemente arrivare alla conclusione:
[math] a_c = \omega^2 \cdot r = (6,28 \frac{rad}{s})^2 \cdot 3 m = 118,31 m/s^2 [/math]

Svolgimento (2)

A questo punto, l’ape si trova all’estremità della pala, quindi il raggio da considerare è la lunghezza della pala stessa (
[math]5.70 m[/math]
).

[math] v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 5,7 m}{1 s} = 35,79 \frac{m}{s} [/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'accelerazione centripeta dell'ape quando si trova a 3.00 m dal rotore?

    2. L'accelerazione centripeta dell'ape è di [math]118,31 \frac{m}{s^2}[/math], calcolata utilizzando la formula [math] a_c = \omega^2 \cdot r [/math] con [math] \omega = 6.28 \frac{rad}{s} [/math] e [math] r = 3.00 m [/math].

  2. Come si calcola la velocità dell'ape quando si trova all'estremità della pala?

    3. La velocità dell'ape all'estremità della pala, con un raggio di [math]5.70 m[/math], è [math]35,79 \frac{m}{s}[/math], calcolata con la formula [math] v = \frac{2\pi r}{T} [/math] e [math] T = 1 s [/math].

  3. Qual è la relazione tra velocità angolare e periodo nel contesto del problema?

    4. La velocità angolare [math] \omega [/math] è legata al periodo [math] T [/math] dalla formula [math] \omega = \frac{2\pi}{T} [/math], dove [math] T [/math] è il tempo impiegato per un giro completo, calcolato come [math]1 s[/math] nel problema.

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