Concetti Chiave
- Mario e Luigi nuotano rispettivamente a velocità di 0.5 m/s e 0.75 m/s, partendo simultaneamente da un bordo di una piscina lunga 25 m.
- Dopo 200 secondi, Mario e Luigi si ritrovano al punto di partenza, avendo percorso rispettivamente 100 m e 150 m, il che ripristina la condizione iniziale.
- Il primo incontro avviene dopo 40 secondi, con Mario che ha percorso 20 metri e Luigi 30 metri, incrociandosi quando Luigi torna indietro.
- Gli incontri successivi avvengono ogni 40 secondi, precisamente ai tempi 80, 120, e 160 secondi, con una periodicità di 200 secondi per il ripetersi delle condizioni iniziali.
- La formula per determinare gli istanti in cui si incontrano è T = {40n, n ∈ ℕ}, cioè ogni multiplo di 40 secondi.
Testo dell'esercizio
Mario nuota a una velocità di[math]0.5m/s[/math]
e Luigi a una velocità di [math]0.75m/s[/math]
.Partono contemporaneamente dallo stesso bordo di una piscina lunga
[math]25m[/math]
.Stabilire quando si incrociano.
Soluzione dell'esercizio
Per risolvere il problema usiamo la seguente strategia: ricondurre la situazione ad un lasso di tempo limitato.In particolare, osserviamo cosa succede dopo 200 secondi:
Mario ha percorso
[math]s = vt = 0,5 \cdot 200 m=100m[/math]
cioè 4 vasche e si ritrova al punto di partenza;Luigi ha percorso
[math]x= vt = 0,75 \cdot 200 m= 150m[/math]
cioè 6 vasche ed è di nuovo al punto di partenza, cioè è come se si fosse ripristinata la condizione iniziale. Pertanto basta analizzare questi
[math]200 s[/math]
e vedere quante volte e quando si incrociano, aggiungendo poi una periodicità di [math]200 sec[/math]
, sapendo che dopo appunto questo tempo la situazione si ripete identica, qualsiasi istante abbiamo considerato. Quindi vediamo facilmente, con qualche conto, che si incontrano dopo
[math]40 sec[/math]
e anche dopo [math]80sec[/math]
. In effetti [math] 40 \cdot 0.5 = 20 [/math]
e [math] 40 \cdot 0.75 = 30 [/math]
, il che vuol dire che Mario incontra Luigi che sta tornando indietro nel momento in cui Mario ha percorso 20 metri, mentre Luigi ne ha percorsi 25+5. Inoltre, dopo [math]100s[/math]
si trovano ai due estremi opposti della piscina. I tempi degli altri incontri sono "simmetrici" agli altri due: [math]120 s[/math]
e [math]160s[/math]
. A ulteriore spiegazione dei tempi iniziali di incontro
[math]( 40, 80 ) [/math]
, come abbiamo verificato che si incontrano dopo 80sec, ad esempio? 80 si verifica così: Con 80 secondi, Mario percorre
[math]0,5 \cdot 80[/math]
metri, cioè 40 metri, cioè fa una vasca (25) e 15 di quell'altra. In finale, dopo questi 80 secondi, si trova a 10 metri da dove era la partenza (infatti 40 metri sono 2 vasche meno 10 metri). Pertanto, la conclusione è questa: si incontrano dopo che è trascorso un numero di secondi pari a
[math]40[/math]
, [math]2 \cdot 40[/math]
, [math]3 \cdot 40[/math]
,.... ovvero ogni multiplo di [math]40 sec[/math]
.In formule, detto
[math] T [/math]
l'insieme degl istanti in cui si incontrano:[math] T = \{40n, n \in \mathbb{N} \} [/math]
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