Concetti Chiave
- Mario and Luigi swim at speeds of 0.5m/s and 0.75m/s respectively, starting from the same point in a 25m pool.
- After 200 seconds, both swimmers return to the starting point, indicating a periodic cycle of 200 seconds.
- During any 200-second interval, they meet at 40 seconds and 80 seconds, and are at opposite ends at 100 seconds.
- The meeting times repeat every 200 seconds, with encounters at multiples of 40 seconds (e.g., 40, 80, 120, 160 seconds).
- The periodic encounters can be expressed as tn = 40n seconds, where n is a natural number.
Mario nuota a una velocità di
[math]0.5m/s[/math]
e Luigi a una velocità di [math]0.75m/s[/math]
.Partono contemporaneamente dallo stesso bordo di una piscina lunga
[math]25m[/math]
.Stabilire quando si incrociano.
Strategia: ricondurre la situazione ad un lasso di tempo limitato.
In particolare, osserviamo cosa succede dopo 200 secondi:
Mario ha percorso
[math]s=0,5 \cdot 200 m=100m[/math]
cioè 4 vasche e si ritrova al punto di partenza;Luigi ha percorso
[math]x=0,75 \cdot 200 m= 150m[/math]
cioè 6 vasche ed è di nuovo al punto di partenza, cioè è come se si fosse ripristinata la condizione iniziale. Pertanto basta analizzare questi
[math]200 sec[/math]
e vedere quante volte e quando si incrociano, aggiungendo poi una periodicità di [math]200 sec[/math]
, sapendo che dopo appunto questo tempo la situazione si ripete identica, qualsiasi istante abbiamo considerato. Quindi vediamo facilmente, con qualche conto, che si incontrano dopo
[math]40 sec[/math]
e anche dopo [math]80sec[/math]
Invece dopo
[math]100sec[/math]
si trovano ai due estremi opposti della piscina.I tempi degli altri incontri sono "simmetrici" agli altri due:
[math]120 sec[/math]
e [math]160sec[/math]
. Come abbiamo verificato che si incontrano dopo 80sec, ad esempio?
80 si verifica così.
Con 80 secondi, Mario percorre
[math]0,5 \cdot 80[/math]
metri, cioè 40 metri, cioè fa una vasca (25) e 15 di quell'altra. In finale, dopo questi 80 secondi, si trova a 10 metri da dove era la partenza (infatti 40 metri sono 2 vasche meno 10 metri).
Pertanto, la conclusione è questa: si incontrano dopo secondi
[math]40[/math]
, [math]2 \cdot 40[/math]
, [math]3 \cdot 40[/math]
,.... ovvero ogni multiplo di [math]40 sec[/math]
.[math]t_n=40n\quad\text{sec} \quad \in \mathbb{N}[/math]
FINE
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