Moto di scivolamento su una semisfera

Esercizio in cui viene calcolata l'altezza del punto di distacco di un corpo che scivola su una semisfera liscia

_Steven
di _Steven
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Concetti Chiave

  • Una massa inizia a slittare su un blocco di ghiaccio semisferico privo di attrito dopo una piccola spinta.
  • Il distacco della massa avviene a un'altezza pari a 2R/3 quando la forza normale si annulla.
  • Il coseno dell'angolo tra il raggio e la direzione della forza peso si esprime come h/R.
  • La velocità al punto di distacco si determina tramite l'equazione v² = g * h, derivata dalle forze centripete.
  • Il bilancio energetico rivela che l'altezza di distacco è 2/3 del raggio iniziale, dimostrando il punto di separazione.

In questo appunto risolveremo un problema particolare utilizzando, tra le altre cose, la conservazione dell'energia meccanica. Si tratta di una massa che scivola (a partire dal polo) lungo un blocco di ghiaccio (che assumeremo quindi privo di attrito) e si vuole capire a che altezza la massa perde aderenza (e quindi si stacca) dal blocco. Vediamo il testo dell'esercizio

Indice

  1. Testo dell'esercizio
  2. Soluzione dell'esercizio

Testo dell'esercizio

Una massa è appoggiata su un blocco di ghiaccio semisferico. Si dà una piccola spinta e questa inizia a slittare sul ghiaccio. Si dimostri che, se si suppone il ghiaccio privo di attrito, tale massa si stacca ad un'altezza pari a
[math]2R/3[/math]
.

Soluzione dell'esercizio

Partiamo dal presupposto che nel punto di distacco la reazione normale deve annullarsi. Prima di tutto occorre disegnare la semicirconferenza di centro
[math]O[/math]
e raggio
[math]R[/math]
. Prendiamo un punto
[math]P[/math]
su di essa che si trova ad altezza
[math]h[/math]
rispetto al diametro della circonferenza (preso a livello della terra), disegniamo la forza peso e scomponiamola nella componente radiale e tangenziale; tracciamo per maggiore chiarezza il raggio
[math]OP[/math]
e il segmento che da
[math]P[/math]
cade perpendicolarmente sul diametro, cioè il segmento lungo cui è diretta la forza peso.
Infine chiamiamo
[math]\alpha[/math]
l'angolo tra questi due segmenti.

Facciamo delle considerazioni energetiche: all'inizio il corpo possiede energia potenziale pari a

[math]E_i = U_i = m \cdot g \cdot R[/math]
Arrivato nel punto
[math]P[/math]
ad altezza
[math]h[/math]
abbiamo che ha energia cinetica e una frazione dell'energia potenziale iniziale, ovvero:
[math]E_P = m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot v^2[/math]
Dobbiamo esplicitare
[math]v[/math]
. Nel moto circolare abbiamo che
[math]F_c=m \cdot v^2/R[/math]
. La forza centripeta
[math]F_c[/math]
nel punto di stacco
[math]P[/math]
è data dalla componente radiale della forza peso, cioè
[math]F_c=m \cdot g \cdot \\cos (\alpha)[/math]
. E' semplice rendersi conto che il coseno dell'angolo
[math]\alpha[/math]
è esprimibile come
[math]h/R[/math]
tramite la trigonometria.
Quindi sapendo
[math]F_c=m \cdot v^2/R, F_c=m \cdot g \cdot \\cos (\alpha)[/math]
e
[math]\\cos (\alpha)=h/R[/math]
abbiamo che
[math]m \cdot g \cdot h/R=m \cdot v^2/R[/math]
ed eseguendo le semplificazioni otteniamo per
[math]v^2[/math]
l'espressione
[math]v^2=g \cdot h[/math]
Ricordiamo il bilancio energetico
[math]m \cdot g \cdot R=m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot v^2[/math]
in cui sostituiamo la relazione appena trovata:
[math]m \cdot g \cdot R=m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot g \cdot h[/math]
Semplificando e sommando si ottiene
[math]h=2/3R[/math]
.

Domande da interrogazione

  1. Qual è la condizione per cui la massa si stacca dal blocco di ghiaccio?

    2. La massa si stacca quando la forza normale si annulla, il che avviene ad un'altezza pari a 2R/3.

  2. Come si calcola la velocità della massa nel punto di stacco?

    3. La velocità si calcola usando la relazione [math]v^2 = g \cdot h[/math], derivata dall'equilibrio tra forza centripeta e componente radiale della forza peso.

  3. Qual è il bilancio energetico utilizzato per determinare l'altezza di distacco?

    4. Il bilancio energetico è [math]m \cdot g \cdot R = m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot v^2[/math], che porta a determinare [math]h = 2/3R[/math] quando si sostituisce [math]v^2 = g \cdot h[/math].

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