Leggi di Keplero: enunciati e formule

In questo appunto di Fisica si enunciano e descrivono le tre leggi di Keplero, con una breve premessa storica sulle precedenti teorie elaborate da parte di molti studiosi e sulle conseguenze di questa teoria.

Lo studio del moto dei pianeti nella storia

Nei millenni lo studio del moto dei pianeti ha sempre costituito un argomento molto dibattuto fra scienza e religione. Varie teorie si sono succedute nel corso dei secoli, spesso collegate e fortemente intrecciate con la religione che ne ha influito sull'evoluzione.
Elenchiamo di seguito le teorie fondamentali che si sono evolute fino alle Leggi di Keplero.

• Teoria geocentrica
• Teoria eliocentrica
• Sistema ticonico

La teoria geocentrica, elaborata da Claudio Tolomeo, vedeva il pianeta Terra al centro dell’Universo mentre il moto di tutti gli altri pianeti si svolge su di una circonferenza chiamata epiciclo ed il cui centro si muove su di una seconda circonferenza di raggio più grande intorno alla Terra chiamata deferente. Questo modello di studio viene chiamato anche modello tolemaico semplificato.
La teoria eliocentrica, elaborata dall’astronomo polacco Niccolò Copernico, è totalmente in contrapposizione a quella tolemaica e vede il Sole immobile al centro dell’Universo, mentre la Terra e tutti gli altri pianeti del sistema ruotano intorno ad esso su orbite circolari.
La teoria di Copernico, contraddicendo la Sacra Scrittura la quale vedeva la Terra al centro dell’Universo, provocò una profonda crisi non solo a livello religioso, ma anche nel campo della fisica: la teoria geocentrica spiegava in maniera molto più intuitivo e diretto ciò che l’occhio umano vedeva nella volta celeste.
Le contraddizioni con la religione portano a considerare come eretiche tutte le opere che supportavano la teoria eliocentrica.
Il sistema ticonico, proposto dall’astronomo danese Tycho Brahe, fu un compromesso fra le due precedenti teorie che propose un nuovo sistema dell’Universo.
Questa teoria vedeva la Terra immobile al centro dell’Universo, mentre gli altri pianeti ruotano intorno al Sole che a sua volta ruota intorno alla Terra.
Quest’ultima teoria non ebbe molti seguaci, ma permise al giovane Giovanni Keplero, assistente di Tycho Brahe, di arrivare a definire quale sono le orbite dei pianeti intorno al Sole.

Le Leggi di Keplero

Le Leggi di Kleplero sono leggi fisiche sperimentali cui arrivò l’astronomo e matematico tedesco Giovanni Keplero all’inizio del XVII secolo che descrivono il moto dei pianeti. Formulate su base empirica a partire dai dati dell’astronomo danese Tycho Brahe, le leggi nascevano dall’esigenza di trovare una descrizione più semplice del moto planetario, rispetto a quella corrente. Quest’ultima era stata elaborata alla luce della teoria geocentrica di Tolomeo, e quindi del principio che la Terra fosse il centro del moto di tutti gli altri pianeti; per non contraddire i dati sperimentali, gli astronomi tolemaici avevano dunque dovuto ipotizzare che i pianeti si muovessero su orbite estremamente complesse, date dalla composizione di più traiettorie circolari (epicicli e deferenti) come si è detto sopra.
Keplero portò la teoria eliocentrica ad avere il definitivo sopravvento su quella geocentrica ed a definire in maniera precisa le orbite dei pianeti.

Prima Legge di Keplero

I pianeti descrivono orbite ellittiche nel loro moto di rivoluzione intorno al Sole, il quale si trova in uno dei fuochi di tale curva.
In base a questa legge si osserva che la distanza del pianeta dal Sole varia: il punto in cui il pianeta in moto intorno al Sole ha distanza minima da questo si chiama perielio, mentre il punto in cui è a distanza massima si chiama afelio. La distanza fra perielio ed afelio costituisce l’asse maggiore dell’ellisse che individua l’orbita del pianeta e la metà dell’asse maggiore è pari alla distanza media del pianeta dal Sole.

Seconda legge di Keplero (o Legge delle aree)

Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, ossia le aree descritte da tale vettore sono proporzionali ai tempi impiegati per descriverle.
Si definisce raggio vettore il vettore che va dal Sole al pianeta.
Questa legge ci dice che la velocità dei pianeti nel loro moto di rivoluzione intorno al Sole non è costante: è massima nel perielio e minima nell'afelio.
Consideriamo infatti il moto di un pianeta intorno al Sole in due tratti distinti della sua traiettoria ellittica, e , il primo più vicino al sole ed il secondo più lontano, ma entrambi percorsi nello stesso intervallo di tempo .
Le due aree spazzate dal raggio vettore quando il pianeta percorre ed sono uguali per la seconda legge di Keplero. Se si approssimano queste due aree a due triangoli dove ed sono le basi ed i rispettivi raggi vettore, ed , sono le altezze, si ha che:
( dove
poiché è più vicino al Sole
Per rispettare la relazione di uguaglianza fra le aree, la base deve essere maggiore dove l’altezza è minore. Essendo l’intervallo di tempo lo stesso, pari a , per percorrere i due tratti ed , se ne conclude che la traiettoria più vicina al perielio è maggiore di quella più vicina all’afelio, per cui nel tratto più vicino al perielio la velocità è maggiore:
Per cui .

Terza Legge di Keplero

Il rapporto fra il periodo di rivoluzione, , attorno al Sole di un pianeta ed il cubo del semiasse maggiore, , dell’orbita ellittica è lo stesso per tutti i pianeti:
.
Se ed sono i semiassi maggiori delle orbite ellittiche descritte da due pianeti e e sono i rispettivi periodi di rivoluzione, la relazione che lega queste grandezze è data dalla terza legge di Keplero:
da cui segue che il periodo di rivoluzione aumenta con la distanza dei pianeti dal Sole.
La relazione che esprime la terza legge di Keplero può essere espressa anche come segue:

La legge di gravitazione universale

Una delle conseguenze fondamentali delle leggi di Keplero fu la legge di attrazione gravitazionale.
Mentre le prime descrivono le orbite dei pianeti, Newton, utilizzando i risultati di Keplero riuscì ad spiegare il perché di tali orbite e delle proporzioni che legano periodo di rivoluzione e semiasse maggiore, introducendo la forza di attrazione gravitazionale.

Per ulteriori approfondimenti sulla legge di gravitazione universale vedi anche qua