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Cosa sono gli insiemi numerici e quali sono i principali
Gli insiemi numerici sono raggruppamenti in cui gli elementi sono dei numeri aventi delle specifiche caratteristiche in comune. Essi sono molto utili in matematica, soprattutto nella scrittura dei domini. La definizione del dominio è il primo step dello studio di funzione: se non esistessero gli insiemi numerici - e in particolare l'insieme dei numeri reali - sarebbe impossibile sancire un range di valori attribuibili all'incognita affinché la funzione sia valida.
Anche nel caso delle operazioni numeriche tali insiemi sono importanti: qualora non si consideri il corretto insieme numerico, infatti, i risultati di alcune di esse non potrebbero essere indicati. Il caso più emblematico è quello del valore della radice quadrata di un numero negativo: il risultato non può essere scritto se si considera soltanto l'insieme dei numeri reali, ma estendere la trattazione a quello dei numeri complessi.
In matematica, gli insiemi numerici sono sei e sono:
- l'insieme dei numeri naturali, cioè l'insieme dei numeri interi positivi
- l'insieme dei numeri interi, che comprende i numeri naturali, lo zero e i numeri negativi
- l'insieme dei numeri razionali, cioè tutti i numeri interi e i numeri frazionali, sia finiti che periodici
- l'insieme dei numeri irrazionali, come quelli ottenuti da radice e i valori trascendenti, come quelli derivati dal logaritmo e dalle funzioni trigonometriche
- l'insieme dei numeri reali, il quale contiene tutti gli insiemi precedentemente citati.
- l'insieme dei numeri complessi, che aggiunge ai numeri reali le radici dei numeri negativi
Elenco e descrizione degli assiomi correlati agli insiemi numerici
Glì insiemi numerici sono definiti attraverso l'utilizzo di assiomi, cioè principi evidenti e non dimostrabili. Nel caso degli insiemi numerici, essi sono l'assioma di Peano, il principio di induzione, le sezioni di Dedekind e il sistema assiomatico dei numeri reali.
Cosa afferma l'assioma di Peano
Gli assiomi di Peano sono 5 e sono utilizzati per caratterizzare i numeri reali. In particolare essi sono:
- Esiste il numero naturale zero
- Ogni numero naturale presenta un successore
- Se i numeri sono diversi presentano successori diversi
- 0 non è successore di nessun numero naturale
- Ogni insieme di numeri naturali che soddisfa i primi due assiomi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali
Definizione del principio di induzioni e delle sezioni di Dedekind per gli insiemi numerici
Il principio di induzione afferma che se una proprietà
Per quanto riguarda le sezioni di Dedekind, invece, essi spiegano come l'insieme dei numeri reali può essere costruito a partire dai numeri razionali. In particolare, due sottoinsiemi
Cosa afferma il sistema assiomatico dei numeri reali
Il sistema assiomatico dei numeri reali afferma due concetti importanti. Il primo è che la parte positiva dei numeri reali è un campo e che quindi tutte le operazioni in esse effettuate godono della proprietà commutativa, associativa e distributiva che spiegheremo nel successivo paragrafo. Inoltre esse presentano l'elemento neutro e ciascun numero reale positivo presenta l'inverso rispetto a ogni operazione, ad eccezione dello 0 che non ha l'inverso della moltiplicazione.
Il secondo punto del sistema afferma che l'insieme dei numeri reali è un insieme ordinato, ciò significa che vale la proprietà riflessiva, antisimmetrica, transitiva e di totalità.
Le proprietà delle operazioni tra numeri
Le operazioni numeriche godono di alcune proprietà che conferiscono loro precise caratteristiche. Le proprietà relative alle operazioni numeriche sono:
- la proprietà commutativa della somma, per cui cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia
- la proprietà associativa della somma, per cui in presenza di più addendi se si sostituisce due di loro con la propria somma il risultato non cambia
- la proprietà commutativa della moltiplicazione, secondo la quale cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia
- la proprietà associativa della moltiplicazione, in cui in presenza di più fattori se due o più di essi sono sostituiti con il loro prodotto il risultato non cambia
- la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma, ossia il risultato del prodotto di un numero per una somma è pari alla somma dei risultati del prodotto tra il numero e i singoli addendi
- la proprietà invariantiva della sottrazione, per cui se si aggiunge o si sottrae a entrambi i termini della sottrazione lo stesso numero la differenza non cambia
- la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma, secondo la quale il risultato della divisione tra una somma di e un numero è pari alla somma dei quozienti tra gli addendi e il numero
Cosa sono i numeri primi e il concetto di divisibilità
Si definiscono numeri primi i numeri naturali maggiori di 1 che sono divisibili soltanto per se stesso e per uno. Sono esempi di numeri primi 2,3,5,7,5119,10061, ma cosa significa "essere divisbili"?
Un numero è "divisibile" per un altro numero se, dividendo il primo per il secondo, il resto ammonta a zero. Questa definizione si appoggia sul teorema fondamentale dell'aritmetica, secondo il quale ogni numero composto, ossia ogni numero non primo, può essere rappresentato come prodotto tra fattori primi.
Esistono delle regole che aiutano a sancire a priori la divisibilità di un numero per un altro numero, senza prima effettivamente svolgere l'operazione.
Per valutare la divisibilità di un numero per 2, ad esempio, bisogna osservare l'ultima cifra: se è pari, allora il numero è divisibile per due. In questo modo è possibile definire anche la divisibilità per 5, che risulta valida se l'ultima cifra è 0 o 5. Puoi trovare tutti gli altri criteri per valutare la divisibilità nel file in allegato.
Cosa sono il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo
I concetti di massimo comune divisore e minimo comune multiplo discendono da quello di divisori e divisibilità. Conoscere il secondo è utile in quanto permette di svolgere operazioni di somma e sottrazione tra numeri espressi in forma frazionaria.
In particolare, il massimo comune divisore tra due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni ai numeri dati. Per esempio, il massimo comune divisore tra 12 e 16 è 4, perchè entrambi i numeri sono divisibili per 4.
Si definisce, invece, minimo comune multiplo tra due o più numeri interi il più piccolo tra i multipli comuni ai numeri considerati. Il minimo comune multiplo tra 12 e 15 è 60.
Come effettuare correttamente un'approssimazione numerica
A seguito di un'operazione, potrebbe essere necessario effettuare un'approssimazione qualora si desideri scrivere un numero
Ecco il formulario precedentemente citato, su cui potrai trovare tutte le informazioni presentate in quest'appunto in maniera schematica.
Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi anche qua
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Insiemi numerici
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
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4. Insiemi numerici
4.1 Insiemi numerici = …
Insieme dei numeri naturali {0,1, 2,3, ,}
− − − + + + …
= {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }
Insieme dei numeri interi relativi
Insieme dei numeri razionali
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
n 1 1 1 1 2 2
∈ ∈ = − − + −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
n m
= : , \{0} 0, , , , ,..., , ,...
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
m 1 1 2 2 3 3
L'insieme dei numeri contiene propriamente quello dei razionali e degli irrazionali.
reali ⎧ ⎫
1 1 π
= + − + −
… … …
⎨ ⎬
0, 1, 1, , , , , 2, 3, , e
,
⎩ ⎭
2 2
( )
+ ⋅ è un campo
,
R ≤
rispetto alla relazione d'ordine usuale è totalmente ordinato R R
, con un maggiorante in ,
L'ordinamento è completo, nel senso che ogni sottoinsieme non vuoto di
R (assioma di Dedekind)
ha un estremo superiore in { }
= + ∈ = −
2
a ib : a , b ; i 1
complessi
Insieme dei numeri Complessi
Reali
razionali
Interi
naturali relativi
Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici
Numeri reali
irrazionali razionali
algebrici trascendenti frazionari interi
π , e
, log 2, sen
5,...
3
3, 2,... negativi positivi
decimali decimali
finiti periodici
5 2
= =
2,5 0, 6
2 3
Figura 2. Classificazione dei numeri 1
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sono quei numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi.
Numeri razionali sono quei numeri che non sono razionali, in particolare la loro scrittura come
Numeri irrazionali
numeri decimali è illimitata e non è periodica.
sono quei numeri che sono soluzioni di un’equazione polinomiale algebrica, del tipo
Numeri algebrici
− ∈
+ + + + =
n n 1 .
, dove a
a x a x ... a x a 0
− i
n n 1 1 0
sono i numeri irrazionali che non sono algebrici.
Numeri trascendenti
4.2 Proprietà delle quattro operazioni
+ + proprietà commutativa della somma
a b = b a
+ + + +
( ) = ( )
a b c a b c proprietà associativa della somma
+ + = 0 è l'elemento neutro della somma
a 0 = 0 a 0
⋅ ⋅ proprietà commutativa della moltiplicazione
a b = b a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ proprietà associativa della moltiplicazione
( ) = ( )
a b c a b c
⋅ + ⋅ + ⋅
a (
b c ) = a b a c proprietà distributiva della moltiplcazione rispetto alla somma
⋅ ⋅ 1è l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione
1 a = a 1 = a
⋅ ⋅ 0 è l'elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione
a 0 = 0 a = 0
− ± − ±
a b = ( a c ) (
b c ) proprietà invariantiva della sottrazione
− 0 è l'elemento neutro (a destra) della sottrazione
a 0 = a
+ +
( a b ) : c = ( a : c ) (
b : c ) proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma
1 è l'elemento neutro (a destra) della divisione
a : 1 = a
4.3 Numeri primi e divisibilità
Numero primo. Un numero naturale >1 si dice primo se è divisibile soltanto per se stesso e per 1.
Numero composto. Un numero naturale >1 che non è primo si dice composto.
Il numero 1 non è un numero primo.
Il numero 0 non è primo perché ne ha infiniti.
L'unico numero primo pari è 2.
Teorema fondamentale dell’aritmetica. Ogni numero composto ammette un’unica rappresentazione
come prodotto di fattori primi, a meno dell’ordine di fattori.
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se e solo se la sua ultima cifra, cioè la cifra delle
2 2
unità, è pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se e solo se la somma delle sue cifre vale , , o
3 3 3 6 9
un multiplo di 3 . Per verificare se il numero ottenuto è multiplo di 3 si può reiterare il procedimento.
Esempio
: 123 è divisibile per 3 perché la somma delle cifre è 6, che è divisibile per 3. Il numero 122
non è divisibile per 3 perché la somma delle cifre è 5, che non è divisibile per 3. Il numero 869565 è
divisibile per 3, infatti 8+6+9+5+6+5=39 la cui somma delle cifre è 3+9=12, che è multiplo di 3.
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se e solo se le sue due ultime cifre sono o un
4 4 00
4 .
multiplo di
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se e solo se la sua ultima cifra, cioè la cifra delle
5 5
o .
unità, è 0 5
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se rispetta contemporaneamente i criteri di divisibilità
6 6
.
per e per
2 3 Un numero (maggiore di ) è divisibile per se e solo se la differenza (in valore
Divisibilità per . 10 7
7
assoluto) fra il numero ottenuto togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è , o
0 7
. Per verificare se il numero ottenuto è multiplo di si può reiterare il procedimento.
un multiplo di 7 7
− ⋅ −
è divisibile per , infatti . Per capire se è divisivile per
Esempio: 1078 7 107 2 8 = 107 16 = 91 91 7
2
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− ⋅ −
basta reiterare il procedimento: , quindi è divisibile per , ovvero è un suo
9 2 1 = 9 2 = 7 91 7
multiplo, di conseguenza anche 1078 è divisibile per 7 .
Un numero è divisibile per se termina con tre zeri o se è divisibile per il
Divisibilità per . 8 8
8
numero ottenuto dalle sue ultime tre cifre. Oppure si può considerare la somma fra la penultima cifra e
il doppio della terzultima, raddoppiare il risultato ottenuto e sommarlo all'ultima cifra, se il numero così
allora lo è anche il numero di partenza. Per verificare se il numero ottenuto è
ottenuto è multiplo di 8
multiplo di 8 si può reiterare il procedimento.
+ ⋅
è disivibile per , infatti (somma fra la penultima cifra e il doppio della
Esempio: 7720 8 2 7 2 = 16
⋅ +
terzultima), (somma fra il doppio del risultato dell'operazione precedente e l'ultima
16 2 0 = 32
cifra), e banalmente è multiplo di .
32 8
Un numero è divisibile per se e solo se la somma delle sue cifre vale o un
Divisibilità per .
9 9 9
. Per verificare se il numero ottenuto è multiplo di si può reiterare il procedimento.
multiplo di 9 9
10 Un numero è divisibile per 10 se e solo se la sua ultima cifra è 0 .
Divisibilità per . Un numero è divisibile per se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la
Divisibilità per . 11
11 11 11
, o un multiplo di . Per
somma delle ci
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